Внутренними силами и нагрузкой.

Прежде чем рассматривать зависимости между внутренними силами и нагрузкой, введем понятие у ч а с т к а оси бруса. У ч а с т к о м назовем часть оси бруса между двумя соседними узловыми точками. У з л о в о й назовем точку, в которой изменяет свой характер либо ось бруса (например, имеется излом), либо нагрузка (например, имеется разрыв интенсивности распределенной нагрузки, приложена сосредоточенная сила или момент и т.п.). Концевые точки также являются узловыми.

На каждом участке внутренняя сила S имеет свое аналитическое выражение S (s).

Для установления указанных зависимостей вырежем из бруса двумя сечениями I-I и II-II элемент плоского бруса длиной dz (рис. 2.10, а). Отметим, что этот элемент не содержит узловых точек, и действующая на элемент нагрузка является исключительно распределенной. Обозначим интенсивность поперечной нагрузки – q, продольной – q_n, момента – m. Естественно, что при любом законе распределения этих факторов по оси бруса, распределенную нагрузку, приложенную к бесконечно малому элементу dz, можно считать постоянной.

Внутренние силы, приложенные в сечениях I-I и II-II, будут внешними для этого элемента. Одноименные внутренние силы S в этих сечениях отличаются на величину dS (как приращение функции на приращение аргумента) (рис. 2.10, а).

Рис. 2.10.

Поскольку элемент бруса находится в равновесии, то из условий статики получим:

Из SZ = 0 следует - N - q_ndz + (N + dN) = 0

Отсюда dN = q_ndz или . (2.12)

Из SY = 0 следует Q + qdz – (Q + dQ) = 0

Отсюда dQ = qdz или . (2.13)

Отметим, что если нагрузка q будет направлена вниз, то выражение (2.13) будет иметь вид

. (2.13а)

Из SМ_к = 0 следует

- М – mdz – (Q + dQ)dz + (М + dМ) + qdz = 0

Пренебрегая членами высшего порядка малости, получим

dМ = (Q + m)dz или . (2.14)

Если распределенного момента m нет (m = 0), то

. (2.15)

Продифференцировав это выражение по z, получим с учетом (2.13)

. (2.16)

Подчеркнем, что правые части выражений (2.12 - (2.16) представляют собой в общем случае функции от z.

Рассмотрим теперь элемент dz бруса, на который действует внешняя нагрузка в виде распределенного момента m_z относительно оси Z (рис. 2.10, б).

Рассуждая аналогично предыдущему, из SМ_z = 0

М_кр+ m_zdz – (М_кр + dМ_кр) = 0,

откуда dМ_кр = m_zdz или . (2.17)

На основе выше дифференциальных зависимостей можно установить и интегральные зависимости между внутренними силами и нагрузкой.

Для участка с абсциссой начала z = а и абсциссой конца z = б в соответствии с (2.12) получим

. (2.18)

Если вместо конечной точки участка взять любую промежуточную точку К с координатой z_к (при начале отсчета от z = а), то в соответствии с (2.12) получим

. (2.19)

Здесь N_К – продольная сила в сечении К, N_А – продольная сила в начале участка (z = а), - распределенная продольная нагрузка, z_к – координата сечения К, отсчитываемая от начальной точки участка.

Проведя аналогичные рассуждения, получим для п л о с к о г о бруса

, (2.20)

(2.21)

или при m = 0

. (2.22)

В случае п р о с т р а н с т в е н н о г о бруса, нагруженного распределенным моментом m_z(z), получим

. (2.23)

Обратим внимание на знаки распределенных нагрузок , , m(z), m_z(z). Они положительны. Если направлены в сторону внутренних сил на левом конце элемента (см. рис. 2.10, а, б).

В заключение отметим, что в случае криволинейной оси бруса (рис. 2.10, в) дифференциальная зависимость между М и Q (2.15)будетиметь вид

, (2.24)

где r - радиус кривизны.