Работа внешних сил. Потенциальная энергия деформации

Тема 6 (окончание)

Мы рассмотрели деформации, перемещения (повороты) и напряжения при кручении. Теперь перейдем к энергетическим соотношениям. Так же как и при растяжении, внешние силы (моменты М) совершают работу А на пере­мещениях (углах поворота φ). При статическом нагружении

Произведение M _i φ _i будет положительным, если направления момента и угла поворота совпадают.

Выражение потенциальной энергии упругой деформации структурно совпадает с выражением U_n при растяжении

Представляет интерес запись выражения (6.23) при действии распреде­ленного по длине момента (рис. 6.6, а).

В общем случае работа распределенного момента m(z) равна

В частном случае (при m = const)

где Ω _φ - площадь эпюры φ на длине вала l. В данном примере (см. рис. 6.6, б-г) и, следовательно,

Потенциальную энергию деформации вала найдем в соответствии с формулой (6.24). В данном случае

что, естественно, совпадает с выражением (а).

Рис. 6.6.

Энергетические отношения можно успешно использовать для определе­ния жесткости (или податливости) витых пружин, широко используемых в машиностроении.

Витая пружина может рассматриваться как пространственный стержень, осевая линия которого представляет собой винтовую линию (рис. 6.7, а).

Рис. 6.7.

При малом шаге витков угол подъема α весьма мал, и можно считать, что cosα = 1 и sinα = 0. В этом случае внутренние силы в любом сечении пружины можно записать так:

где D -диаметр витка.

где λ - величина сжатия (просадки) пружины.

Пренебрегая влиянием поперечных сил, можно выражение потенциаль­ной энергии упругой деформации записать так;

Здесь L - полная длина рабочей части витков пружины, которую счита­ют равной

где n - число витков.

Записывая момент инерции сечения пружины I_Р через диаметр d (I_p = π d⁴/32) и подставляя (6.30) в формулу (6.29), получим

Из равенства А = U получим в соответствии с (6.28) и (6.31) величину просадки пружины λ при действии силы Р

Если считать сжимающую силу равной единице (Р = 1), то величина просадки будет представлять собой п о д а т л и в о с т ь пружины - ψ (которую обозначают также через δ)

Ж е с т к о с т ь п р у ж и н ы - С представляет собой величину, обратную податливости ψ