![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Повторные независимые испытания. Теорема Бернулли
Задача 1. Игральная кость брошена 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка». Решение. Шестикратное бросание кости можно рассматривать как последовательность независимых испытаний с вероятностью успеха («шестерки»), равной 1/6, и вероятностью неудачи — 5/6. Искомую вероятность вычисляем по формуле Задача 2. Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза. Решение. Искомая вероятность равна сумме вероятностей трех событий, состоящих в том, что герб не выпадет ни разу, либо один раз, либо два раза: Р(А) = Р6(0) + Р6(1) + Р6(2) = Задача 3. Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0, 9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины. Решение. Событие состоит в том, что из 4 фирм-нарушителей будет выявлено три или четыре, т.е.
Задача 4. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба). Решение. Возможными значениями для числа успехов в трех рассматриваемых испытаниях являются m = 0, 1, 2 или 3. Пусть Am - событие, состоящее в том, что при трех подбрасываниях монеты герб появляется m раз. По формуле Бернулли легко найти вероятности событий Am (см. таблицу):
Из этой таблицы видно, что наиболее вероятными значениями являются числа 1 и 2 (их вероятности равны 3/8). Этот же результат можно получить и из теоремы 2. Действительно, n=3, p=1/2, q=1/2. Тогда
Задача 5. В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью 0, 1. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 25 визитов. Решение. Имеем n=10, p=0, 1, q=0, 9. Неравенство для наиболее вероятного числа успехов принимает вид: 25× 0, 1–0, 9£ m*£ 25× 0, 1+0, 1 или 1, 6£ m*£ 2, 6. У этого неравенства только одно целое решение, а именно, m*=2. Задача 6. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0, 5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно три бракованные детали? Какова вероятность обнаружить не меньше трех бракованных деталей? Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» р=0, 005. Применяя пуассоновское приближение с λ =np=5, получаем 1) P1000(3)» 2) P1000(m³ 3)=1-P1000(m< 3)=1-[ и Р1000(3)»0, 14; Р1000(m³ 3)»0, 875. Задача 7. Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет р=0, 75. Найти вероятность того, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз. Решение. В данном случае n=100, m=80, p=0, 75, q=0, 25. Находим Задача 8. Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что таких случаев будет не более 870. Решение. По условию задачи n=40000, p=0, 02. Находим np=800, Р(0< m£ 870)= Ф0(х2) –Ф0(х1), где Находим по таблице значений функции Лапласа: Р(0< m£ 870)=Ф0(х2)–Ф0(х1)=Ф0(2, 5)–Ф0(–28, 57)=0, 4938+0, 5=0, 9938. Задача 9. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0, 8. Найти такое положительное число e, чтобы с вероятностью 0, 99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не превышала e. Решение. По условию задачи p=0, 8, n=400. Используем следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа: Задача 10. Курс акции за день может подняться на 1 пункт с вероятностью 50%, опуститься на 1 пункт с вероятностью 30% и остаться неизменным с вероятностью 20%. Найти вероятность того, что за 5 дней торгов курс поднимется на 2 пункта. Решение. Возможны только следующие два варианта развития событий: 1) курс растет 2 дня, ни разу не падает, не меняется 3 дня; 2) курс растет 3 дня, падает 1 день, не меняется 1 день. Таким образом,
|