Дискретные случайные величины

Задача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины x – числа опробованных ключей.

Решение. Число опробованных ключей может равняться 1, 2 или 3. Если испытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак, Далее, если опробованных ключей было 2, т.е. x=2, это значит, что первый ключ не подошел, а второй – подошел. Вероятность этого события равна 2/3× 1/2=1/3. То есть, Аналогично вычисляется вероятность В результате получается следующий ряд распределения:

Задача 2. Построить функцию распределения F_x(x) для случайной величины x из задачи 1.

Решение. Случайная величина x имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всю числовую ось на четыре промежутка: . Если x< 1, то неравенство x£ x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция F_x(x)=0.

Если 1£ x< 2, то неравенство x£ x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения F_x(x)=1/3.

Если 2£ x< 3, неравенство x£ x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x< x)=P(x=1)+P(x=2)=2/3, т.е. F_x(x)=2/3.

И, наконец, в случае x³ 3 неравенство x£ x выполняется для всех значений случайной величины x, поэтому P(x< x)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)=1, т.е. F_x(x)=1.

Итак, мы получили следующую функцию:

Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин x и h задан c помощью таблицы

Вычислить частные законы распределения составляющих величин x и h. Определить, зависимы ли они. Вычислить вероятность .

Решение. Частное распределение для x получается суммированием вероятностей в строках:

;

;

.

Аналогично получается частное распределение для h:

;

.

Полученные вероятности можно записать в ту же таблицу напротив соответствующих значений случайных величин:

Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин x и h. С этой целью для каждой клетки совместного распределения вычислим произведение (т.е. сумм по соответствующей строке и столбцу) и сравним его со значением вероятности в этой клетке. Например, в клетке для значений x=-1 и h=1 стоит вероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4× 1/4 равно 1/16, т.е. совпадает с совместной вероятностью. Это условие так же проверяется в оставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех. Следовательно, случайные величины x и h независимы.

Заметим, что если бы наше условие нарушалось хотя бы в одной клетке, то величины следовало бы признать зависимыми.

Для вычисления вероятности отметим клетки, для которых выполнено условие . Таких клеток всего три, и соответствующие вероятности в этих клетках равны 1/8, 3/16, 3/8. Их сумма равна 11/16, это и есть искомая вероятность. Вычисление этой вероятности можно записать так:

Задача 4. Пусть случайная величина ξ имеет следующий закон распределения:

Вычислить математическое ожидание Mx, дисперсию Dx и среднеквадратическое отклонение s.

Решение. По определению математическое ожидание x равно

.

Далее

,

а потому

.

Среднее квадратическое отклонение .

Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить .

Решение. Воспользуемся формулой . А именно, в каждой клетке таблицы выполняем умножение соответствующих значений и , результат умножаем на вероятность p_ij, и все это суммируем по всем клеткам таблицы. В итоге получаем:

Задача 6. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить ковариацию cov(x, h).

Решение. В предыдущей задаче уже было вычислено математическое ожидание . Осталось вычислить и . Используя полученные в решении задачи 3 частные законы распределения, получаем

; ;

и значит,

,

чего и следовало ожидать вследствие независимости случайных величин.

Задача 7. Случайный вектор (x, h) принимает значения (0, 0), (1, 0), (–1, 0), (0, 1) и (0, –1) равновероятно. Вычислить ковариацию случайных величин x и h. Показать, что они зависимы.

Решение. Поскольку Р(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5; Р(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5, то Мx=3/5´ 0+1/5´ 1+1/5´ (–1)=0 и Мh=0;

М(xh)=0´ 0´ 1/5+1´ 0´ 1/5–1´ 0´ 1/5+0´ 1´ 1/5–0´ 1´ 1/5=0.

Получаем cov(x, h)=М(xh)–МxМh=0, и случайные величины некоррелированны. Однако они зависимы. Пусть x=1, тогда условная вероятность события {h=0} равна Р(h=0|x=1)=1 и не равна безусловной Р(h=0)=3/5, или вероятность {ξ =0, η =0} не равна произведению вероятностей: Р(x=0, h=0)=15¹ Р(x=0)Р(h=0)=9/25. Следовательно, x и h зависимы.

Задача 8. Случайные приращения цен акций двух компаний за день x и h имеют совместное распределение, заданное таблицей:

Найти коэффициент корреляции.

Решение. Прежде всего вычисляем Mxh=0, 3-0, 2-0, 1+0, 4=0, 4. Далее находим частные законы распределения x и h:

Определяем Mx=0, 5-0, 5=0; Mh=0, 6-0, 4=0, 2; Dx=1; Dh=1–0, 2²=0, 96; cov(x, h)=0, 4. Получаем

.

Задача 9. Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсии Dx=1 и Dh=2, а коэффициент их корреляции r=0, 7. Найти дисперсию приращения цены портфеля из 5 акций первой компании и 3 акций второй компании.

Решение. Используя свойства дисперсии, ковариации и определение коэффициента корреляции, получаем:

.

Задача 10. Распределение двумерной случайной величины задано таблицей:

Найти условное распределение и условное математическое ожидание h при x=1.

Решение. Условное математическое ожидание равно

.

Из условия задачи найдем распределение составляющих h и x(последний столбец и последняя строка таблицы).

Поскольку , то условные вероятности находятся по формулам

, ,

а искомое условное математическое ожидание равно .