Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Дискретные случайные величины






Задача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины x – числа опробованных ключей.

Решение. Число опробованных ключей может равняться 1, 2 или 3. Если испытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак, Далее, если опробованных ключей было 2, т.е. x=2, это значит, что первый ключ не подошел, а второй – подошел. Вероятность этого события равна 2/3× 1/2=1/3. То есть, Аналогично вычисляется вероятность В результате получается следующий ряд распределения:

 

x      
P 1/3 1/3 1/3

Задача 2. Построить функцию распределения Fx(x) для случайной величины x из задачи 1.

Решение. Случайная величина x имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всю числовую ось на четыре промежутка: . Если x< 1, то неравенство x£ x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0.

Если 1£ x< 2, то неравенство x£ x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3.

Если 2£ x< 3, неравенство x£ x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x< x)=P(x=1)+P(x=2)=2/3, т.е. Fx(x)=2/3.

И, наконец, в случае x³ 3 неравенство x£ x выполняется для всех значений случайной величины x, поэтому P(x< x)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)=1, т.е. Fx(x)=1.

Итак, мы получили следующую функцию:

Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин x и h задан c помощью таблицы

x h    
–1 1/16 3/16
  1/16 3/16
  1/8 3/8

 

Вычислить частные законы распределения составляющих величин x и h. Определить, зависимы ли они. Вычислить вероятность .

Решение. Частное распределение для x получается суммированием вероятностей в строках:

;

;

.

Аналогично получается частное распределение для h:

;

.

Полученные вероятности можно записать в ту же таблицу напротив соответствующих значений случайных величин:

 

x h     px
–1 1/16 3/16 1/4
  1/16 3/16 1/4
  1/8 3/8 1/2
ph 1/4 3/4  

 

Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин x и h. С этой целью для каждой клетки совместного распределения вычислим произведение (т.е. сумм по соответствующей строке и столбцу) и сравним его со значением вероятности в этой клетке. Например, в клетке для значений x=-1 и h=1 стоит вероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4× 1/4 равно 1/16, т.е. совпадает с совместной вероятностью. Это условие так же проверяется в оставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех. Следовательно, случайные величины x и h независимы.

Заметим, что если бы наше условие нарушалось хотя бы в одной клетке, то величины следовало бы признать зависимыми.

Для вычисления вероятности отметим клетки, для которых выполнено условие . Таких клеток всего три, и соответствующие вероятности в этих клетках равны 1/8, 3/16, 3/8. Их сумма равна 11/16, это и есть искомая вероятность. Вычисление этой вероятности можно записать так:

 

Задача 4. Пусть случайная величина ξ имеет следующий закон распределения:

x –1    
P 1/4 1/4 1/2

Вычислить математическое ожидание Mx, дисперсию Dx и среднеквадратическое отклонение s.

Решение. По определению математическое ожидание x равно

.

Далее

,

а потому

.

Среднее квадратическое отклонение .

Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить .

Решение. Воспользуемся формулой . А именно, в каждой клетке таблицы выполняем умножение соответствующих значений и , результат умножаем на вероятность pij, и все это суммируем по всем клеткам таблицы. В итоге получаем:

Задача 6. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить ковариацию cov(x, h).

Решение. В предыдущей задаче уже было вычислено математическое ожидание . Осталось вычислить и . Используя полученные в решении задачи 3 частные законы распределения, получаем

; ;

и значит,

,

чего и следовало ожидать вследствие независимости случайных величин.

Задача 7. Случайный вектор (x, h) принимает значения (0, 0), (1, 0), (–1, 0), (0, 1) и (0, –1) равновероятно. Вычислить ковариацию случайных величин x и h. Показать, что они зависимы.

Решение. Поскольку Р(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5; Р(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5, то Мx=3/5´ 0+1/5´ 1+1/5´ (–1)=0 и Мh=0;

М(xh)=0´ 0´ 1/5+1´ 0´ 1/5–1´ 0´ 1/5+0´ 1´ 1/5–0´ 1´ 1/5=0.

Получаем cov(x, h)=М(xh)–МxМh=0, и случайные величины некоррелированны. Однако они зависимы. Пусть x=1, тогда условная вероятность события {h=0} равна Р(h=0|x=1)=1 и не равна безусловной Р(h=0)=3/5, или вероятность {ξ =0, η =0} не равна произведению вероятностей: Р(x=0, h=0)=15¹ Р(x=0)Р(h=0)=9/25. Следовательно, x и h зависимы.

Задача 8. Случайные приращения цен акций двух компаний за день x и h имеют совместное распределение, заданное таблицей:

x h -1 +1
-1 0, 3 0, 2
+1 0, 1 0, 4

 

Найти коэффициент корреляции.

Решение. Прежде всего вычисляем Mxh=0, 3-0, 2-0, 1+0, 4=0, 4. Далее находим частные законы распределения x и h:

 

x h -1 +1 px
-1 0, 3 0, 2 0, 5
+1 0, 1 0, 4 0, 5
ph 0, 4 0, 6  

 

Определяем Mx=0, 5-0, 5=0; Mh=0, 6-0, 4=0, 2; Dx=1; Dh=1–0, 22=0, 96; cov(x, h)=0, 4. Получаем

.

Задача 9. Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсии Dx=1 и Dh=2, а коэффициент их корреляции r=0, 7. Найти дисперсию приращения цены портфеля из 5 акций первой компании и 3 акций второй компании.

Решение. Используя свойства дисперсии, ковариации и определение коэффициента корреляции, получаем:

.

Задача 10. Распределение двумерной случайной величины задано таблицей:

 

h\x        
  0, 15 0, 06 0, 25 0, 04
  0, 30 0, 10 0, 03 0, 07

Найти условное распределение и условное математическое ожидание h при x=1.

Решение. Условное математическое ожидание равно

.

Из условия задачи найдем распределение составляющих h и x(последний столбец и последняя строка таблицы).

h\x         Ph
  0, 15 0, 06 0, 25 0, 04 0, 50
  0, 30 0, 10 0, 03 0, 07 0, 50
Px 0, 45 0, 16 0, 28 0, 11  

Поскольку , то условные вероятности находятся по формулам

, ,

а искомое условное математическое ожидание равно .

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.01 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал