![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дискретные случайные величины
Задача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины x – числа опробованных ключей. Решение. Число опробованных ключей может равняться 1, 2 или 3. Если испытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак,
Задача 2. Построить функцию распределения Fx(x) для случайной величины x из задачи 1. Решение. Случайная величина x имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всю числовую ось на четыре промежутка: Если 1£ x< 2, то неравенство x£ x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3. Если 2£ x< 3, неравенство x£ x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x< x)=P(x=1)+P(x=2)=2/3, т.е. Fx(x)=2/3. И, наконец, в случае x³ 3 неравенство x£ x выполняется для всех значений случайной величины x, поэтому P(x< x)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)=1, т.е. Fx(x)=1. Итак, мы получили следующую функцию: Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин x и h задан c помощью таблицы
Вычислить частные законы распределения составляющих величин x и h. Определить, зависимы ли они. Вычислить вероятность Решение. Частное распределение для x получается суммированием вероятностей в строках:
Аналогично получается частное распределение для h:
Полученные вероятности можно записать в ту же таблицу напротив соответствующих значений случайных величин:
Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин x и h. С этой целью для каждой клетки совместного распределения вычислим произведение Заметим, что если бы наше условие нарушалось хотя бы в одной клетке, то величины следовало бы признать зависимыми. Для вычисления вероятности
Задача 4. Пусть случайная величина ξ имеет следующий закон распределения:
Вычислить математическое ожидание Mx, дисперсию Dx и среднеквадратическое отклонение s. Решение. По определению математическое ожидание x равно
Далее
а потому
Среднее квадратическое отклонение Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить Решение. Воспользуемся формулой Задача 6. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить ковариацию cov(x, h). Решение. В предыдущей задаче уже было вычислено математическое ожидание
и значит,
чего и следовало ожидать вследствие независимости случайных величин. Задача 7. Случайный вектор (x, h) принимает значения (0, 0), (1, 0), (–1, 0), (0, 1) и (0, –1) равновероятно. Вычислить ковариацию случайных величин x и h. Показать, что они зависимы. Решение. Поскольку Р(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5; Р(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5, то Мx=3/5´ 0+1/5´ 1+1/5´ (–1)=0 и Мh=0; М(xh)=0´ 0´ 1/5+1´ 0´ 1/5–1´ 0´ 1/5+0´ 1´ 1/5–0´ 1´ 1/5=0. Получаем cov(x, h)=М(xh)–МxМh=0, и случайные величины некоррелированны. Однако они зависимы. Пусть x=1, тогда условная вероятность события {h=0} равна Р(h=0|x=1)=1 и не равна безусловной Р(h=0)=3/5, или вероятность {ξ =0, η =0} не равна произведению вероятностей: Р(x=0, h=0)=15¹ Р(x=0)Р(h=0)=9/25. Следовательно, x и h зависимы. Задача 8. Случайные приращения цен акций двух компаний за день x и h имеют совместное распределение, заданное таблицей:
Найти коэффициент корреляции. Решение. Прежде всего вычисляем Mxh=0, 3-0, 2-0, 1+0, 4=0, 4. Далее находим частные законы распределения x и h:
Определяем Mx=0, 5-0, 5=0; Mh=0, 6-0, 4=0, 2; Dx=1; Dh=1–0, 22=0, 96; cov(x, h)=0, 4. Получаем
Задача 9. Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсии Dx=1 и Dh=2, а коэффициент их корреляции r=0, 7. Найти дисперсию приращения цены портфеля из 5 акций первой компании и 3 акций второй компании. Решение. Используя свойства дисперсии, ковариации и определение коэффициента корреляции, получаем:
Задача 10. Распределение двумерной случайной величины задано таблицей:
Найти условное распределение и условное математическое ожидание h при x=1. Решение. Условное математическое ожидание равно
Из условия задачи найдем распределение составляющих h и x(последний столбец и последняя строка таблицы).
Поскольку
а искомое условное математическое ожидание равно
|