Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Числовые характеристики дискретной случайной величины.
|
|
К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:
n
М(Х) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
i=1
Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1)M(C)=C, где С-постоянная величина;
2)М(С•Х)=С•М(Х),
3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);
4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X, Y- независимые случайные величины;
5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;
Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия.
Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X)=M(X-M(X))2
Свойства дисперсии:
1)D(C)=0, где С-постоянная величина;
2)D(X)> 0, где Х- случайная величина;
3)D(C•X)=C2•D(X), где С-постоянная величина;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X, Y- независимые случайные величины;
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
n
где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
i=1
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √ D(X).
Определение: Средним квадратическим отклонением σ (Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Задача №2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
| х | -1 | ||||
| р | 0, 1 | Р2 | 0, 3 | 0, 2 | 0, 3 |
Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X), D(X), σ (Х).
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то
Р2=1- (0, 1+0, 3+0, 2+0, 3)=0, 1
Найдем функцию распределения F(х)=P(X< x).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Если х≤ -1, то F(х)=0, т.к. на (-∞; х) нет ни одного значения данной случайной величины;
Если -1< х≤ 0, то F(х)=Р(Х=-1)=0, 1, т.к. в промежуток (-∞; х) попадает только одно значение x1=-1;
Если 0< х≤ 1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0, 1+0, 1=0, 2, т.к. в промежуток
(-∞; х) попадают два значения x1=-1 и x2=0;
Если 1< х≤ 2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0, 1+0, 1+0, 3=0, 5, т.к. в промежуток (-∞; х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;
Если 2< х≤ 3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0, 1+0, 1+0, 3+0, 2=0, 7, т.к. в промежуток (-∞; х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0, x3=1 и х4=2;
Если х> 3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0, 1+0, 1+0, 3+0, 2+0, 3=1, т.к. в промежуток (-∞; х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0, x3=1, х4=2 и х5=3.
Итак,
0 при х≤ -1,
0, 1 при -1< х≤ 0,
0, 2 при 0< х≤ 1,
F(x)= 0, 5 при 1< х≤ 2,
0, 7 при 2< х≤ 3,
1 при х> 3
 |
Изобразим функцию F(x)графически (рис.3):
рис. 3
Найдем числовые характеристики случайной величины:
n
М(Х) = ∑ xκ рκ =x1р1 + x2р2+…+ xnрn
κ =1
M(X)=-1•0, 1+0•0, 1+1•0, 3+2•0, 2+3•0, 3=1, 5
n
D(X)= ∑ x2κ рκ –(M(X))2 = x21р1 + x22р2+…+ x2nрn –(M(X))2
κ =1
D(X)=(-1)2 •0, 1+12•3+22•0, 2+32•0, 3-(1, 5)2=1, 65
≈ 1, 2845.