Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметромλ > 0, если функция плотности распределения вероятностей имеет вид:

0 при х< 0,

f(х)= λ е^{-λ х} при х≥ 0.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой:

0 при х≤ 3,

F(х)= 1-e^{-λ х} при х≥ 0.

Кривая распределения f (х) и график функции распределения F(х) случайной величины Х приведены на рис.5 и рис.6.

рис.5 рис.6

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:

M(X)= , D(X)= , σ (Х)=

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Вероятность попадания Х в интервал (a; b) вычисляется по формуле:

Р(a< Х< b)= e^{-λ а}- e^{-λ b}

Задача №2. Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:

а) плотность распределения вероятностей;

б) функцию распределения;

в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.

Решение: По условию математическое распределение M(X)= =100, откуда λ =1/100=0, 01.