Тригонометриялық функциялар

2.3 Сызық тық тең деулер жү йесін шешу

Сандық ә дістермен шешілетін негізгі мә селелердің бірі – бұ л сызық тық тең деулер жү йесін шешу. Айталық тө мендегі тең деулер жү йесін шешу керек болсын:

Сызық тық алгебра курсынан бұ л жү йені тө мендегі матрица тү рінде жазуғ а болатындығ ы белгілі:

AX=B

Мұ ндағ ы А - тең деудің сол жағ ындағ ы коэффициенттерден тұ ратын матрица. Х-белгісіз х-терден тұ ратын вектор, ал В-тең деудің оң жағ ындағ ы бос мү шелерден тұ ратын вектор. Демек, бұ л жерде шешімін тө мендегідей шешуге болады:

X=A^-1В

Бірақ та MatLab жү йесінде X=В/А формуласымен, яғ ни В векторын А матри-цасына бө лу қ ажет.

Мысалы, мына жү йені шешу керек.

MatLab-та матрицағ а мә ндер бағ аны бойынша беріледі. Демек,

> > A=[5 4 2; 3 -1 5; 4 -2 -3];

> > B=[27 -6 0];

Сонда тең деулер жү йесінің шешуі:

> > X=B/A

X=

тү рде алынады, яғ ни х₁=1, x₂=2, x₃=4 болады.

Мысал 2. Тең деулер жү йесінің шешімін тап:

1. Кері матрица арқ ылы тең деу тү бірін табу:

Шешуі. Жү йені матрицалық тү рде жазамыз. Ол ү шін мына белгілеулерді енгіземіз:

Сонда жү йенің матрицалық тең деуі АХ=В тү рінде жазылды. Матрицалық тү рдегі жү йенің шешуі X=A^-1B болады. Тең деулер жү йесінің анық тауышы мынағ ан тең:

MatLab ортасында анық тауышты есептеу ү шін det(A) функциясы қ олданылады.

> > A=[1 5 -1; 2 4 -3; 3 -1 -3]

A =

1 5 -1

2 4 -3

3 -1 -3

> > det(A)

ans =

-16

Олай болса, тең деу шешімдерін тө мендегідей етіп орындаймыз.

> > A=[1 2 3; 5 4 -1; -1 -3 -3];

> > B=[3 2 -7];

> > X=B/A

X =

-4 1 -2

Сонымен, тең деу жауабы: х₁=-4, x₂=1, x₃=-2.

2. Крамер формуласын пайдаланып тең деуді шешу.

Шешуі.

> > A=[1 5 -1; 2 4 -3; 3 -1 -3]

A =

1 5 -1

2 4 -3

3 -1 -3

> > det(A)

ans =

-16

> > A1=[[3; 2; -7] [5; 4; -1] [-1; -3; -3]]

A1 =

3 5 -1

2 4 -3

-7 -1 -3

> > det(A1)

ans =

> > A2=[[1; 2; 3] [3; 2; -7] [-1; -3; -3]]

A2 =

1 3 -1

2 2 -3

3 -7 -3

> > det(A2)

ans =

-16

> > A3=[[1; 2; 3] [5; 4; -1] [3; 2; -7]]

A3 =

1 5 3

2 4 2

3 -1 -7

> > det(A3)

ans =

> > x1=det(A1)/det(A)

x1 =

-4

> > x2=det(A2)/det(A)

X2 =

> > x3=det(A3)/det(A)

x3 =

-2

Сонымен, тең деу жауабы: х₁=-4, x₂=1, x₃=-2.

2.4 Анық талғ ан интегралды есептеу

Кө птеген математикалық қ ұ былыстарды моделдеу анық талғ ан интегралдарды есептеуді талап етеді. Сандық ә дістер теориясынан интегралдарды жуық тап есептеу ү шін Трапеция жә не Симпсон ә дістері қ олданылатыны белгілі.

MatLab-та трапеция ә дісі ү шін trapz функциясы қ олданылады:

> > trapz(x, y);

Бұ л функцияны қ олдану ү шін аргументтің (х-тің) мә ндерін жә не оларғ а

сә йкес функцияның (у-тің) кө рінісін беру керек.

Мысалы: интегралды есептелік:

> > x=0: 0.1: 5;

> > y=sin(x).*exp(-x);

> > Integ=trapz(x, y)

Integ=

0.5014

Мұ нда алынғ ан нә теже х-тің ө згеру қ адамына (мысалда 0, 1-ге тең) байланысты болады, нә тиже дә лірек шығ у ү шін қ адам кіші болу керек.

Ал интегралды есептеудің екінші – Симпсон ә дісінде оны кө рсетудің қ ажеті жоқ. Оны MatLab ө зі есептейді. Мұ нда интегралды есептеу ү шін quad(‘f’, a, b) функциясы қ олданылады. Бірақ мұ нда f(x) функцияны, егер ол элементарлық функция болмаса, алдын-ала MatLab-та сақ тап қ ою керек, мысалы, fun1.m файлында интегралды есептеу ү шін sinx∙ e^-x функцияны тө мендегіше сақ таймыз:

function y=fun1(x)

y=sin(x).*exp(-x);

Сосын MatLab-та

> > J=quad(‘fun3’, 0.5)

J=

0.5023 нә тижені аламыз.