Die Pythagoreer.

/1/ Wahrscheinlich auß erhalb der Gruppe der Sophisten, die in gewissem Umfange¹ mit der demokratischen Bewegung verbunden war, stand eine Gruppe von mathematisch interessierten Philosophen, die Beziehungen zu aristokratischen Strö mungen besaß. Sie nannten sich selbst Pythagoreer nach dem ziemlich mythischen Grü nder der Schule, PYTHAGORAS, der vermutlich Mystiker, Wissenschaftler und sü ditalienischer Politiker war. Wä hrend die meisten Sophisten nachdrü cklich die Realitä t der Verä nderung vertraten, verlegten die Pythagoreer das Schwergewicht ihrer Studien auf die unverä nderlichen Elemente in Natur und Gesellschaft. In ihrer Suche nach den ewigen Gesetzen des Kosmos studierten sie Geometrie, Arithmetik, Astronomie und Musik (das “ Quadrivium”).

/2/ Ihre Arithmetik war eine in hohem Maß e spekulative Wissenschaft, die mit der gleichzeitigen babylonischen Rechentechnik wenig zu tun hatte². Die Zahlen wurden in Klassen eingeteilt, in gerade, ungerade, geradzahlig oft gerade, ungeradzahlig oft ungerade, Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen, vollkommene, befreundete, Dreieck-, Quadrat-, Fü nfeckzahlen usw.

/3/ Einige der interessantesten Ergebnisse betreffen die “Dreieckzahlen”, die ein Bindeglied zwischen Geometrie und Arithmetik darstellen:

.

...

......

.1.. 3... 6.... 10 usw.

/4/ Unsere Bezeichnung “Quadratzahlen” hat ihren Ursprung in Pythagoreischen Spekulationen

...

.....

. 1.. 4... 9 usw.

Die Figuren selbst sind ä lter, denn einige von ihnen finden sich bereits auf Topfereien aus der jü ngeren Steinzeit. Die Pythagoreer untersuchten ihre Eigenschaften, wobei sie ihr besonderes Merkmal des Zahlenmystizismus hinzufü gten und sie zum Mittelpunkt einer kosmischen Philosophie machten, die alle Beziehungen zurü ckzufü hren versuchte³. In der Zahl sahen die Pythagoreer die einzige Wirklichkeit der objektiven Realitä t (“Alles ist Zahl”.) Ein Punkt war eine “Einheit mit Lage”.

/5/ Die Pythagoreer kannten einige Eigenschaften der regulä ren Kö rper. Sie zeigten, wie man die Ebene mit Hilfe von regulä ren Dreiecken, Quadraten und regulä ren Sechsecken und den Raum mit Wü rfeln ausfü llen kann. Die Pythagoreer haben mö glicherweise auch das regulä re Oktaeder und Dodekaeder gekannt.

/6/ Die wichtigste Entwicklung der Pythagoreer war die Entdeckung des Irrationalen mit Hilfe von Strecken. Diese Entdeckung kann das Ergebnis ihres Interesses fü r das geometrische Mittel a: b = b: c gewesen sein, das als Symbol der Aristokratie galt. Wie groß war das geometrische Mittel von 1 und 2, von zwei heiligen Symbolen? Das fü hrte zum Studium des Verhä ltnisses von Seite und Diagonale eines desselben Quadrates, und man fand, dass dieses Verhä ltnis nicht durch “Zahlen” ausgedrü ckt werden konnte – d.h. durch positive ganze Zahlen und ihre Verhä ltnisse, die in der Pythagoreischen Arithmetik allein zugelassenen Begriffe. Diese Entdeckung, die die Harmonie zerstö rte, wurde wahrscheinlich in den letzten Jahrzehnten des fü nften Jahrhunderts v. u. Z. gemacht. Sie kam noch zu einer anderen Schwierigkeit hinzu, die aus Erö rterungen entstanden war, d. h. aus Erö rterungen, die die Philosophen seit jener Zeit bis ins unsere Tage beschä ftigt haben.

/7/ Diese Schwierigkeit wird ZENO von Elea⁴ (um 450 v. U. Z.), einem Schü ler von PARMENIDES, zugeschrieben. ZENO war konservativer Philosoph, nach dessen Lehre der menschliche Verstand nur das absolute, unverä nderliche Sein der Dinge⁵ erkennen kann, wä hrend alle Verä nderungen nur Schein sind. Sie gewann mathematische Bedeutung, als im Zusammenhang mit solchen Fragen wie der Bestimmung des Pyramidenvolumens unendliche Prozesse studiert werden mussten.

/8/ Die Ü berlegungen von ZENO machten klar, dass eine endlose Strecke in unendlich viele kleine Strecken zerlegt werden kann, von denen jede eine endliche Lä nge besitzt. ZENOs Ü berlegungen beunruhigten die Mathematiker noch sehr, nachdem das Irrationale entdeckt werden war.