Die größten Mathematiker des Altertums.

/1/ Der grö ß te Mathematiker der hellinistischen Periode - und darü ber hinaus des gesamten Altertums – war ARCHIMEDES (287 – 212 v. u. Z.), der in Syrakus ¹ als Ratgeber von Kö nig HIERON lebte. Er ist eine der wenigen wissenschaftlichen Persö nlichkeiten des Altertums, von denen mehr als der bloß e Name ü brig geblieben ist²; ü ber sein Leben und seine Person sind einige Einzelheiten bekannt. Wir wissen, dass er getö tet wurde, als Syrakus von den Rö mern³ eingenommen wurde, nachdem er sein technisches Genie den Verteidigern der Stadt zur Verfü gung gestellt hatte.

/2/ Die ersten Arbeiten von ARCHIMEDES sind Arbeiten zur Mechanik, in seinen spä teren Arbeiten ü ber Mathematik kommt die numerische Richtung ziemlich stark zum Ausdruck. Es gibt keinen Grund, das mathematische Schaffen von ARCHIMEDES aus seiner zweifellos vielseitigen und systematischen Ingenieurtä tigkeit herauszulö sen. Der Theoretiker ARCHIMEDES muss ausschließ lich als ein hervorragender Vertreter der “mathematischen Physik” seiner Epoche gesehen werden.

/3/ Die bedeutendsten Beiträ ge, die ARCHIMEDES zur Mathematik geliefert hat, liegen auf dem Gebiet, das wir heute Integralrechnung nennen – Sä tze ü ber Flä cheninhalte von ebenen Figuren und Volumina von Kö rpern. In seiner “Kreismessung” fand er Nä herungswerte fü r den Kreisumfang mit Hilfe von einbeschriebenen regulä ren Vielecken.

/4/ In dem Buch “Kugel und Zylinder” finden wir den Ausdruck fü r die Kugeloberflä che (in der Form, dass die Kugeloberflä che viermal so groß ist wie die Flä che eines Groß kreises) und fü r das Kugelvolumen (in der Form, dass dieses Volumen das 2/3fache vom Volumen des umbeschriebenen Zylinders beträ gt). Der Ausdruck von ARCHIMEDES fü r den Flä cheninhalt des Parabelsegments (das 4/3fache der Flä che desjenigen einbeschriebenen Dreiecks mit derselben Basis wie das Segment, dessen dritte Ecke in dem Punkt liegt, in welchem die Tangente parallel zur Basis ist) findet sich in seinem Buch “Quadratur der Parabel”.

/5/ Der Name von ARCHIMEDES ist auch mit seinem Satz ü ber den Gewichtsverlust von in Flü ssigkeiten eingetauchten Kö rpern⁴ (ARCHIMEDisches Prinzip) verbunden, der in seinem Buch “Ü ber schwimmende Kö rper”, einer Abhandlung ü ber Hydrostatik, enthalten ist.

/6/ In allen seinen Werken verband ARCHIMEDES eine ü berraschende Originalitä t der Gedankenfü hrung mit groß er Meisterschaft der Rechentechnik und Strenge der Beweise. Typisch fü r diese Strenge ist das “Axiom des ARCHIMEDES” und seine stä ndige Verwendung zum Beweis der Integrationsresultate.

/7/ Die Berü hrung mit der orientalischen⁵ Wissenschaft ist in der „Arithmetica“ von DIOPHANT (etwa 250 u. Z.) stark ausgeprä gt. Sein Werk ist eine der groß artigsten Abhandlungen aus dem griechisch-rö mischen Altertum. Die DIOPHANTische Sammlung von Problemen ist sehr vielseitig, und ihre Lö sungen sind oft hö chst geistvoll. Typisch fü r DIOPHANT ist die Tatsache, dass er an positiven rationalen Lö sungen interessiert ist; irrationale Lö sungen nennt er „unmö glich“ und sorgfä ltig darauf gedacht, seine Koeffizienten so zu wä hlen, dass er die positive rationale Lö sung erhä lt, die er sucht. DIOPHANT kennt auch einige Sä tze aus der Zahlentheorie, beispielsweise den Satz (III.19), wonach das Produkt von zwei ganzen Zahlen, von denen jede die Summe von zwei Quadraten ist, auf zwei Arten in zwei Quadrate zerlegt werden kann. Er besitzt auch Sä tze ü ber die Darstellung einer Zahl als Summe von drei und vier Quadraten.

/8/ Bei DIOPHANT wird zum ersten Mal ein systematischer Gebrauch von algebraischen Symbolen gemacht. Er hat ein besonderes Zeichen fü r die Unbekannte, fü r die Subtraktion und fü r die Reziprokenbildung. Die Zeichen besitzen noch mehr den Charakter von Abkü rzungen als den von algebraischen Symbolen im heutigen Sinne (sie bilden die so genannte „rhetorische“ Algebra); fü r jede Potenz der Unbekannten gibt es ein besonderes Symbol.

/9/ Die griechischen Mathematiker machten einen Unterschied zwischen „Arithmetik“ oder Wissenschaft von den Zahlen und „Logistik“ oder praktische Rechenkunst. Der Ausdruck „arithmos“ bezog sich nur auf „natü rliche Zahlen“, auf „aus Einheiten zusammengesetzte Grö ß en“; dies bedeutete auch, dass „eins“ nicht als eine Zahl angesehen wurde. Unser Begriff der reellen Zahl war unbekannt. Eine Strecke hatte daher nicht immer eine Lä nge. Geometrisches Denken ersetzte unser Arbeiter mit den reellen Zahlen. Wenn EUKLID die Tatsache ausdrü cken wollte, dass die Flä che eines Dreiecks gleich der halben Produkt aus Grundlinie und Hö he ist, musste er sagen, dass sie halb so groß ist wie die Flä che eines Parallelogramms von gleicher Grundlinie, das zwischen denselben Parallelen liegt (EUKLID).

/10/ Der Satz des PYTHAGORAS stellte eine Beziehung zwischen den Flä chen von drei Quadraten dar und nicht zwischen den Lä ngen von drei Seiten. Die „Elemente“ von EUKLID geben eine Theorie der quadratischen Gleichungen, aber sie wird unter „Anlegung“ von Flä chen behandelt, und da die Wurzeln durch gewisse Konstruktionen gefundene Strecken sind, kann man verstehen, dass die einzigen zugelassenen Wurzeln die positiven sind. In den „Elementen“ besitzt jedoch eine Strecke nicht notwendig einen ihr zugeordneten Zahlenwert. Die gewö hnliche rechnerische Mathematik (unter dem Namen „Logistik“) blieb wä hrend aller Perioden der griechischen Geschichte sehr lebendig.