Сызықтық кеңістік ұғымы

Анық тама. (Р; +; ·) ө рісі ү стіндегі сызық тық кең істік деп қ андай да бір Х жиыны мен Р жиынының (Х, Р) жұ бын айтамыз. Бұ л жерде Х, оның элементтерін ө зара қ осу жә не Р элементтеріне кө бейту амалдары анық талғ ан жиын. Х жиынының элементтерін векторлар деп айтамыз. Сонымен қ атар, (Х, Р) жұ бы келесі 8 аксиомаларды қ анағ аттандыруы керек:

L1 векторларды қ осу амалы коммутатив (ауыстырымды);

L2 векторларды қ осу амалы ассоциатив (терімді);

L3 қ осу амалына қ атысты бір ерекше элементтің бар болуы. Бұ л элементті нө лдік вектор деп атаймыз да, ә детте, ә ріпімен белгілейміз;

L4 қ осу амалына қ атысты қ арама-қ арсы векторлар табылу аксиомасы. Бұ л аксиоманы қ анағ аттандыратын b векторын a-ғ а қ арама-қ арсы вектор деп атаймыз;

L5 векторды Р ө рісінің бірлігіне кө бейтудің ерекшелігі;

L6 ө ріс коэффициенттеріне векторларды кө бейту амалы ассоциатив (терімді);

L7 - ө ріс коэффициенттеріне векторларды кө бейту амалы векторларды қ осу амалы бойынша дистрибутив (ү лестірімді);

L8 - ө ріс коэффициенттерін векторларғ а кө бейту амалы векторларды қ осу амалы бойынша дистрибутив (ү лестірімді).

Байқ асақ, (Х, Р) сызық тық кең істігінде біз тө рт амалды қ олданамыз: екі қ осу жә не екі кө бейту амалдары. Шынында, тек + жә не екі символымен шектелуге болады. Векторлар мен ө рістің элементтеріне қ олданылғ ан амалдарды шатастырмау ү шін мынадай келісімге келейік: Р ө рісінің элементтерін белгілеу ү шін грек алфавитінің кіші ә ріптерін, ал Х кең істігінің векторларын белгілеу ү шін латын алфавитінің (басым жағ дайларда кіші) a, b, c, … немесе x, y, z, … ә ріптерін пайдаланатын болайық. Бұ л келісімнен жалғ ыз ғ ана нө лдік векторы тыс қ алады. Сонымен қ атар, математикадан ежелден келе жатқ ан ә дет бойынша, кө п жағ дайда кө бейту таң басын жазбасақ та болады. Осы келісімге келсек сү йеніп, сызық тық кең істіктің аксиомаларын келесі тү рде жазуғ а болады:

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

L8 .

R ө рісі ү стіндегі сызық тық кең істікті нақ ты, ал С ө рісі ү стіндегісін – комплекс сызық тық кең істік деп атайды.

Мысал 1. S, П жә не L – сә йкес кә дімгі кең істікте, жазық тық та жә не тү зу бойында орналасқ ан нү ктелер жиындары болсын. Егер осы жиындардың ә рқ айсысында қ андай да бір О нү ктесін полюс ретінде бекітіп алсақ, онда L, S, П жиындарының ә рбір М нү ктесін оның ОМ радиус – векторымен сә йкестендіруге болады. Осы ө зара бірмә нді сә йкестік аналитикалық геометрияның тү пкі негң здерінің бірі болып табылады. Осыдан былай L, S, П – сә йкес кең істікте, қ андай да бір тү зу бойында орналасқ ан нү ктелердің радиус – векторларының жиындары деп қ арастырамыз да, сызық тық амалдар ретінде бағ ытталғ ан кесінділерді кә дімгі қ осу мен нақ ты сандарғ а кө бейту амаладарын аламыз.

Мысал 2. Элементтері Р ө рісіне тиісті матрицалар жиынын арқ ылы белгілейік. Егер сызық тық амалдар ретінде матрицаларды қ осу жә не P – ның коэффициенттеріне кө бейту амалдарын алсақ, онда жұ бы сызық тық кең істік болады.

Мысал 3. Р кез келген ө ріс болсын. Арифметикалық кең істігіне ұ қ сас болатын кең істігін алайық. - дегі векторлар қ ұ рамында P – ның n элементтері бар жолдар (немесе бағ анадар), ал дегі сызық тық амалдар дегі сызық тық амалдарғ а ұ қ сас болсын. Онда (, Р) жұ бы сызық тық кең істік қ ұ райды, себебі оның векторларын - дағ ы матрицалар деп санауғ а болады.

Мысал 4. Р ө рісі ү стіндегі бір айнымалылы барлық кө пмү шелердің жиыны жә не дә режесі - нен аспайтын кө пмү шелер жиыны кө пмү шелерді қ осу мен оларды Р ө рісінің коэффициенттеріне кө бейту амалдары бойынша Р ө рісі ү стіндегі сызық тық кең істіктер болады.

Мысал 5. ө рісі ө рісінің кең ейімі болсын. Егер - ның элементтерін векторлар ретінде қ арастырсақ, онда жұ бы сызық тық кең істік болады. кең істігінің сызық тық амалдары дағ ы қ осу жә не ның элементтерін Р ның коэффициенттеріне кө бейту амалдары болады. ү шін L1, L8 аксиомаларының орындалуы ө рістің аксиомаларынан оң ай шығ ады.

сызық тық кең істігі бұ л мысалдың дербес жағ дайы болып табылады: комплекс сандар оның векторлары, ал нақ ты сандар коэффициенттері ретінде қ арастырылады.

Мысал 6. Р кез келген ө ріс болсын. Онда жұ бы сызық тық кең істік қ ұ райды. Бұ л кең істікте, ә лбетте, жә не кез келген ү шін . сызық тық кең істігі нө лдік кең істік деп аталады.

Мысал 7. нақ ты оң сандар жиынында қ осу жә не нақ ты коэффициенттерге кө бейту амалдары келесі тең діктермен анық талсын:

Бұ л жерде . L1, L2 аксиомаларының жұ бында орындалады.