Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Кеңістіктің базисі
|
|
Анық тама. Егер Rсызық ты кең істігінде:
1) 
, 
, …, 
элементтері сызық ты тә уелсіз болса,
2) сызық ты кең істіктің ә р хэлементі ү шін х1, х 2,..., хn нақ ты сандар табылып
x= 
· + 
· + · (1)
тең дігі орындалса, онда , , …, элементтерінің жиынтығ ы осы кең істіктің базисі деп аталады. Бұ л жағ дайда (1) тең дігі х элементінің , , …, — базисі арқ ылы жіктелінуі, ал x= { х1, х2,..., хn } — нақ ты сандар
х элементінің координаттары деп аталады жә не
х = {х1, х2 , …, xn} символымен белгіленеді.
Анық тама. R сызық ты кең істігі n-ө лшемді кең істік деп аталады, егер осы кең істікте n сызық ты тә уелсіз элементтер бар болып, ал кез келген n+ 1 элементтері сызық ты тә уелді болса жә не ол Rn — ә рпімен, белгіленеді. Бұ л жағ дайда
n -саны Rnсызық ты кең істігінің ө лшемі деп аталады да
dimRn=n символымен белгіленеді.
Мысалы, дә режесі n- 1- ден кіші жә не n - 1 -ге тең кө пмү шеліктердің жиынтығ ы n-ө лшемді кең істік. Себебі бұ л кең істікте n дә режелі кө пмү шелік, яғ ни
1, t, t 2, …, t n-1 сызық ты тә уелсіз. Жазық тық тағ ы векторлар жиынының ө лшемі 2-ге, кең істіктегі векторлар жиынының ө лшемі 3-ке, ал Rn - n ө лшемді кең істігінің ө лшемі n -ге тең.
Егер R сызық ты кең істігінде шексіз сызық ты тә уелсіз элементтер бар болса, онда ол кең істік шексіз кең істік деп аталады.
Мысалы, С[а; b ]-кең істігі шексіз кең істік.
Себебі бұ л кең істікте шексіз сызық ты тә уелсіз функциялар бар.
Егер кең істіктің ө лшемі шектелген болса, онда ол кең істік шектелген сызьіқ ты кең істік деп аталады.
Негізінде біз бұ л тарауда nө лшемді кең істіктерді қ арастырмақ пыз.
1-теорема. Rn — сызық ты кең істігінің х элементі , , …, базисі арқ ылы жіктелінуі
x= 
· 
+ 
· + · 
(1)
тек біреу ғ ана.
Далелдеуі. Теореманы дә лелдеу ү шіп кeрі жориық, яғ ни Rn кең істігінің х элементі 
, 
, …, 
базисі арқ ылы (1)
жіктелуінен ө згеше жіктелсін, яғ ни
x= x'1 • l1 + x'2 • l2 +…+ x'n • ln (2)
(2) мен (3) жіктелулерінің айырымын қ арастрайық:
0 = (x'1 – x1) • l1+(x'2 – x2) • l2+…+ (x'n - xn)• ln (3)
(3) тең діктен жә не , , …, — базисінің сызық ты
тә уелсіздігінен
(x'1 – x1) = 0, l1+(x'2 – x2) =0, …, (x'n - xn)
тең діктерін аламыз. Осыдан
x'1 =x1, x'2 =x2, …, x'n = xn.
Теорема дә лелденді.
Ескерту. Rn кең істігіндегі кез келген х элемент ә ртү рлі базисте ә ртү рлі жіктелінеді, яғ ни х элементінің базисі ө згерсе, онда оның координаталары да ө згереді.
Осытеоремадан: берілген , , …, базисте Rn сызық ты кең істігінің кез келген элементінің координаттары бар жә нe ол тек біреу ғ ана.
Егер 
, 
, …, 
базистегі х элементінің координаттары y1, y2, …, yn ал у элементінің координаттары болса, яғ ни
x= x'1 • l1 + x'2 • l2 +…+ x'n • ln = { x1; x2;..., xn }
y= x'1 • l1 + y'2 • l2 +…+ y'n • ln = { y1; y2;..., yn }
онда
x= (x1±y1) • l1+(x2±y2) • l2+…+ (xn±yn)• ln ={ x1±y1; …; xn±yn },
λ · x = λ · y1 •l1 = λ · y2 l2 +…+ λ · ynln = { λ · y1; λ · y2; …; λ · yn }
Демек, мынадай тұ жырымғ а келеміз: координаттарымен брілген элементтердің қ осындысын табу ү шін олардын сә йкес координаттарын қ осу қ ажет, ал нақ ты санды элементке кө бейту ү шін оның барлық координаттарын осы санғ а
кө бейту қ ажет. Сызық ты кең істіктің сә йкес координаттары тең болса, онда оның екі элементі тең деп аталады.
R сызық ты кең істігінің ө лшемі мен базисі араcындағ ы байланысты қ арастыралық.
2-теорема. Егер R сызық тық кең істігінің ө лшемі n болса: dimR = n, онда осы кең істіктің кез келген n сызық ты тә уелсіз элементтері базис тү зейді.
Дә лелдеуі. , , …, элементтері R сызық ты кең істігінің тә уелсіз элементтері жә не х осы кең істіктің кез келген элементі болсын, x ≠ li , i= 1 
n. Онда n - ө лшемді сызық ты кең істіктің анық тамасы бойынша х, , , …, элементтері сызық ты тә уелді, яғ ни кем дегенде біреуі нө лге тең емес
α 0, α 1, …, α n — нақ ты сандары табылып
α 0 · x + α 1 ·l1 + α 2 · l2 +…+ α n · ln= 0 (4)
тең дігі орындалады, мұ ндағ ы α 0 ≠ 0. Ал α 0 =0 болғ анда
, , …, элементтері сызық ты тә уелді болар еді. Сондық тан, (4) тең дігінен
x= x1 • l1 + x2 • l2 +…+ xn • ln(5)
тең дігін аламыз, мұ ндағ ы xi = -α i · / α 0, α 0 ≠ 0, i= 1 n. Сонымен х элемент R кең істігінің кез келген элементі болғ андық тан ә рі (5) тең дігінің орындалуынан жә не анық тамадан дә лелдеу керегімізді аламыз. Теорема дә лелденді.
3- теорема. R- сызық ты кең істігінің п элементтен анық талғ ан базисі бар болса, онда R сызық ты кең істіктің ө лшемі n-ге тең, яғ ни dim R = n.
Далелдеуі. , , …, элементтері R сызық ты кең істігінің п базисі болсын, яғ ни , , …, элементтері сызық ты тә уелсіз. Теореманы дә леддеу ү шін R кең істігінің кез келген x1 , x2, …, xn+1 − n+ 1 — элементтерінің сызық ты тә уелділігін дә лелдесек жеткілікті. 
болғ андық тан,
n+ 1 элементтерінің ә рқ айсысын , , …, , базисі бойынша жіктейміз:
x1 = x11• l1 + x12 • l2+ … + x1n • ln ,
x2 = x12 • l1+ x22 • l2 + … + x2n • ln ,
…………………………………
xn = xn1• l1 + xn2 • l2+ … + xnn • ln ,
x2 = xn+1, 1 • l1+ xn+1, 2 • l2 + … + xn+1n• l,
мұ ндағ ы xik — нақ ты сандар, i= 1 n + 1, k= 1 n.
Дә лелдемекші x1 , x2, …, xn+1 — элементтерінің сызық ты тә уелділігі осы элементтердің координаттарынан анық талғ ан
A = 
матрицасының жатық жолдар элементтерінің сызық ты тә уелділігіне эквивалентті. Матрица n+ 1 жатық жә не n тік жолдардан анық талғ ан. Бұ л матрицаның жатық жолдары сызық ты тә уелді, ө йткені оның базистік минорының реті n- нен ү лкен емес жә не п + 1 жатық жолдарының кем дегенде біреуі базис бола алмайды. Теорема дә лелденді.
4- теорема. R- сызық ты кең істігінің n элементі сызық ты тә уелсіз болу ү шін осы элементтердің координаттарынан анық талғ ан анық тауыштың мә ні нө лге тең болмауы қ ажетті ә рі жеткілікті.
Далелдеуі. Теореманы дә лелдеу ү шін R сызық ты кең істігінің n элементін
x1 = { x11; x12; …; x1n },
x2 = { x12; x22; …; x2n },
…………………………………
xn = { xn1; xn2; …; xnn }
ә ріптерімен, ал осы элементтердің координаттарынан анық талғ ан теоремадағ ы анық тауышты Δ ә рпімен белгілейік:
Δ = 
cалдары бойынша, Δ анық тауыштың мә ні нө лге тең болу ү шін оның жатық жолдары сызық ты тә уелді болуы қ ажетті ә рі жеткілікті. Олай болса, Δ - анық тауыштың мә ні, тек олардың жатық жолдары сызық ты тә уелсіз болғ ан жағ дайда ғ ана нө лге тең болмайды. Теорема дә лелденді.
Салдар. R сызық ты кең істігінің n элементі базис қ ұ рау ү шін осы элементтердің координаттарынан анық талғ ан анық тауыштың мә ні нө лге тең болмауы қ ажетті ә рі жеткілікті.
Дә лелдеуін жаттығ у ретінде ұ сынамыз.
1-мысал. Rn сызық ты кең істігінің
xi = {1; 0;...; 0}, x2 = {0; 1;...; 0}, …, хn—{0; 0;..., 1} элементтері базис қ ұ райды. Шынында да, осы элементтердің координаталарынан анық талғ ан
Δ = 
=1 ≠ 0
анық тауышы нө лге тең емес.
2-мысал. х = {1; 4} элементінің , жә не 
, 
базистеріндегі координаттарын анық та, мұ ндағ ы
l1 = {1; 2}, l2 = {-2; 3} жә не l'1 = {1; 1}, l'2 = {1; 0}.
Алдымен х элементінің l1, l2 базисіндегі координаттарщ анық тайық. х элементінің l1, l2 базисіндегі координаттары x1, x2 болсын, яғ ни
x= x1 • l1 + x2 • l2
l1- ді х2-ге кө бейтіп, қ осайық:
x1 • l1 + x2 • l2 = {x1; 2x2} + {-2x2; З x2} =
= {х — 2х2; 2х + Зх2}
Сонда {х1 - 2х2; 2х1 + Зх2} = х. Тең элементтердің (векторлардың) тең дігін ескеріп
тү зулер жү йесін аламыз. Осыдан
x1= 11/7, х2 = 2/7 — мә ндерін табамыз. Сонымен,
х элементінің l1, l2 базисте координаттары 11/7 жә не 2/7, яғ ни
= 11· 
+2 · 
· х элементінің
l1, l2 базисіндегі координаттарын табайық, ол координаттар да x1 , x2 болсын дейік, сонда
x= x1 • l'1 + x2 • l'2
Осыдан
x1 • l'1 + x2 • l'2 ={x1; x1} +{x2; 0}= {x1+x2; x1}
Сонымен x1 = 4, x2 = -3 сандары х элементінің l'1, l'2
базисіндегі координаттары, яғ ни
х = {4; -3} = 4 • 
{ — 3 • 
.
3-мысал.
l1 = {1; 0;...; 0}, l2 = {0; 1;...; 0), ln = {0; 0;...; 1},
х = {x1; x2; …; xn} элементтері сызық ты тә уeлді болатынын дә лелдендер.
Ол ү шін мына сызық ты комбинацияны
қ арастырайық:
α ·x + α 1·l1 + α 2·l2 + … + α n·ln, α ≠ 0, α i≠ 0.
Осы комбинацияның нө л элемент болатындығ ын дә лел- дссск жеткілікті. Шынында да,
α ·x + α 1·l1 + α 2·l2 + … + α n·ln= {α ·x1; α ·x2; …; α ·xn}+
+{ α 1; 0; …; 0}+{0; α 2; …; 0}+{0; 0; …; α n}=
={ α ·x1+ α 1; α ·x2+ α 2; …; α ·xn+ α n}=0
нө л элемент, егер α = -1, α 1= х1,..., α n = хn болса. Сонымен, кез келген х элементін 
, 
, …, 
, элементтері бойынша ө рнектейміз:
х = α 1·l1 + α 2·l2 + … + α n·ln= x1 • l1 + x2 • l2 +…+xn·