Сызықтық амалдардың қасиеттері

L1, L8 аксиомалары L, S, П мен кең істіктерінде қ олданылатын сызық тық амалдардың негізгі қ асиеттерінің тікелей жалпылау болатындығ ы анық. L1, L4 аксиомалары Абель тобы болатындығ ын қ орытады. Демек,

- сызық тық кең істікте нө лдік вектор жалғ ыз болады, осы себептен оғ ан айрық ша символды пайдалану ө те заң ды (біз нқ лге ұ қ сас болатын грек алфавитінің ә ріпін қ аладық);

- ә рбір векторғ а сә йкес келетін қ арама –қ арсы вектор да жалғ ыз болып табылады (ɑ векторына қ арама – қ арсы векторды - ɑ арқ ылы белгілейміз);

- векторларды қ осу амалына кері келетін азайту амалы

тең дігімен анық талады жә не т.с.с.

L1, L8 аксиомаларынан ө зге сызық тық амалдардың кө птеген басқ а қ асиеттерін қ орытуғ а болады. Олардың арасынан ең жиі пайдаланылатын қ асиеттердің тізімін келтірейік. Қ андайда (Х, Р) сызық тық кең істігінде кез келген ү шін келесі тұ жырымдамалар орындалады:

1. (нө лдік коэффициентті кез келген векторғ а кө бейткенде нө лдік вектор шығ ады);

2. (қ арама – қ арсы векторды табу ү шін берілген векторды -1 коэффициентіне кө бейту керек);

3. (минус таң басын қ озғ алту заң дары);

4. (векторларды коэффициенттерге кө бейту амалы коэффициенттерді азайту амалы бойынша дистрибутив);

5. (векторларды коэффициенттерге кө бейту амалы векторларды азайту амалы бойынша дистрибутив);

6. (нө лдік векторды кез келген коэффициентке кө бейткенде, нө лдік вектор шығ ады);

7. Егер , ал болса, онда ;

8. Егер , ал болса, онда ;

9. Егер жә не , онда (нө лден қ зге коэффициентке қ ысқ арту ережесі);

10. Егер жә не болса, онда (нө лдік емес векторғ а қ ысқ арту ережесі).

Осы қ асиеттерді дә лелдеу ү шін L1-L8 аксиомаларын жә не алдын ала дә лелдеген қ асиеттерді ғ ана пайдалануғ а мә жбү р боламыз.

1. Бізге векторының нө лдік вектор болатындығ ын кө рсету қ ажет. Жоғ арыда байқ ағ анымыздай, нө лдік вектор сызық тық кең істікте жалғ ыз болады да L3 аксиомасымен анық талады. Ендеше, тең дігін кө рсетуіміз керек. L5 аксиомасы бойынша, . Демек, . Енді L5 пен L3 аксиомаларын қ олданайық: . Осыдан тең дігі шығ ады. тең дігі ұ қ сас жолмен дә лелденеді.

2. векторын қ арастырайық. L5, L7 аксиомалары мен 1-ші қ асиетті пайдаланып,

аламыз. тобында -ғ а қ арама – қ арсы элементі бірмә нді анық талғ андық тан, .

3. 2 – ші қ асиет пен L6 аксиомасынан

.

Осығ ан ұ қ сас

.

4. Бұ л дистрибутив заң ы 3-ші қ асиет пен L7 аксиомасынан шығ ады:

5. Ал бұ л дистрибутив заң ы 3-ші қ асиет пен L8 аксиомасынан шығ ады:

6.5 – ші қ асиетте деп алсақ жеткілікті.

7. болғ андық тан, ө рістің керілетін элементі. Олай болса, L5, L6 аксиомалары мен 1 – ші қ асиеттен

тең діктерін аламыз.

8. Кері жорып, жә не , бірақ деп санайық. Сонда, 7-ші қ асиет бойынша, . Ал бұ л қ арама – қ айшылық.

9. 5 – ші қ асиетті пайдалансақ, аламыз. Олай болса, 7 – ші қ асиет бойынша, . Демек, .

10. 4 – ші қ асиет бойынша, , ал 8 – ші қ асиет бойынша,

Мысал 8. Егер (Х, R) қ андай да бір нақ ты сызық тық кең істігінде ө рнегін ық шамдау керек болса, онда кә дімгі ө рнектерді тү рлендіргендей векторларының коэффициенттерін жеке жинап, амалдарды сол жиналғ ан коэффициенттерге қ олданамыз:

Жасалғ ан тү рлендірулер не L1, L8 аксиомаларының, не 1-10- шы қ арапайым қ асиеттердің арасында жоқ. Онда бұ л тү рлендірулеріміз қ ате болғ аны ма? Бұ л сауалғ а жауап беру ү шін тү рлендірулерді біртіндеп жазып кө рейік. Алдымен бастапқ ы ө рнекке 2-шә і қ асиетті, ал соң ынан L8 жә не L6 аксиомаларын қ олданайық:

Енді L8 аксиомасы мен 3 – ші қ асиетті қ олдансақ, онда мына тең дікке келеміз:

.

Ассоциативтік L2 аксиомасы соң ғ ы ө рнектегі артық жақ ша жұ птарын алып тастауғ а, ал коммутативтік L1 аксиомасы қ осындылардың ретін алмастырып ұ қ сас мү шелерді топтастыруғ а мү мкіндік береді:

Мысалдың мақ саты барлық тү рлендірулерді ұ зақ жолмен жасауда емес. Тек тү рлендіру нә тижесі кү мә нді болып кө рінгенде, тү рлендірудің заң дылығ ын тексеру ү шін осы мысалды ү лгі ретінде қ арастыруғ а болады.

Осымен қ атар, келесі екі кә дімгі ереженің заң дылығ ын байқ ап кетейік. Егер мен векторлар жү йелерінің қ андайда бір мен сызық тар ө рнектері болса, онда тең дігі тең дігіне пара-пар. Яғ ни, тең діктің оң жағ ындағ ы ө рнек тең діктің сол жағ ындағ ы минус таң басымен ауысады. Бұ ны байқ ау ү шін тең дігінің екі жағ ына бірдей –B ө рнегін қ осайық.

Онда соң ғ ы тең діктің сол жағ ы , ал оң жағ ы векторына тең.

Екінші ереже – ол тең дігінен b векторын табу ережесі. Бұ л жерде ө рістің нө лдіктен ө зге элементі болуы қ ажет. Кә дімгі ережеміз не деуші еді? – Тең діктің екі жағ ында нө лден ө згеше коэффициентке бө лу заң ды дейді. Ал ө рісте - ғ а бө лудің орнына кері элементіне кө бейтуіміз керек. Яғ ни

Осыдан

Демек, ереже ө згермегенімен, оның мағ ынасын дұ рыс тү сіну керек.