Примеры решения задач. Пример 1 Баллон вместимостью V = 5 л содержит смесь гелия и водорода при

Пример 1 Баллон вместимостью V = 5 л содержит смесь гелия и водорода при

давлении P = 600 кПа. Масса m смеси равна 4 г, массовая w1 доля гелия равна

0, 6. Определить температуру смеси, парциальные давления P1 и P2, молярную

массу смеси.

Решение.

Массовая доля w – отношение массы компонента смеси к массе смеси,

т.е.

m

m

w 1

1 =. Аналогично,

m

m

w 2

2 =. Следовательно, m w m 1 1 = и m w m (1 w)m 2 2 1 = = -.

Найдем молярную массу смеси:

(1) (1)

2 1 1 1

1 2

2

1

1

1

2

2

1

1 2 1 M w M w

M M

M

m w

M

mw

m

M

m

M

m

m m m

M

+ -

×

=

-

+

=

+

=

+

= =

n n n

.

Здесь М1 и М2 – молярные массы компонентов смеси; М1 = 4× 10 -3 кг/моль,

М2 = 2× 10 -3 кг/моль. Получаем:

моль

M кг 3

3 3

3 3

2, 86 10

2 10 0, 6 4 10 (1 0, 6)

4 10 2 10 -

- -

- -

= ×

× × + × -

× × ×

=.

Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева для смеси:

RT

M

m

PV =.

Отсюда выразим и найдем температуру смеси:

K

mR

PVM

T 258

4 10 8, 31

600 10 5 10 2, 86 10

3

3 3 3

=

× ×

× × × × ×

= = -

- -

.

Парциальное давление – давление, создаваемое компонентом смеси в со-

суде. Таким образом, для нахождения можно использовать уравнение Кла-

пейрона – Менделеева:

RT

M

m

PV

1

1

1 =.

Отсюда выразим и найдем парциальное давление Р1:

кПа

VM

mw RT

VM

m RT

P 257, 3

5 10 4 10

4 10 0, 6 8, 31 258

3 3

3

1

1

1

1

1 =

× × ×

× × × ×

= = = - -

-

.

Используя закон Дальтона Р = P1 + P2, находим P2:

Р2 = P - P1 = 600 - 257, 3 = 342, 7 кПа.

Ответ: 258 К; 257, 3 кПа; 342, 7 кПа; 2, 86× 10-3 кг/моль.

29

Пример 2 Определить кинетическую энергию Евр вращательного движения

одной молекулы кислорода при температуре Т = 286 К, а также кинетическую

энергию Евр вращательного движения всех молекул этого газа, если его масса

равна 4 г.

Решение.

На каждую степень свободы молекул газа приходится одинаковая сред-

няя энергия

2

kT

, где k = 1, 38× 10-23 Дж/К – постоянная Больцмана. Так как моле-

кула кислорода двухатомная, то имеет 3 степени поступательного движения и 2

степени вращательного движения. Таким образом,

Евр kT kT Дж 23 21 1, 38 10 286 3, 95 10

2

1

2 - - = × = = × × = ×.

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул этого газа:

Евр = N Евр,

где N – число молекул газа, определяемое по формуле A A N

M

m

N =n × N =.

Таким образом, получаем

Евр Дж

M

m

Евр NA 3, 95 10 297

32 10

4 10

6, 02 10 21

3

3

23 × =

×

×

= = × -

-

-

.

Ответ: 297Дж.

Пример 3 В центрифуге находится азот при температуре 170С. Центрифуга,

внутренний радиус которой 0, 5 м, вращается вместе с азотом с частотой 80 с-1.

Во сколько раз давление в центре центрифуги меньше давления на расстоянии

0, 4 м от оси вращения?

Решение.

Используем для решения распределение Больцмана в виде

kT

U

n n e

-

= 0,

где U – потенциальная энергия поля. Учтем, что вместо концентрации можем

записать давление, так как P = nkT и P n kT 0 0 =. В этом случае получим

kT

U

P P e

-

= 0.

На частицы газа в центрифуге действует центробежная сила инерции

F r m r 2 () = w.

Используем связь между потенциальной энергией и силой:

m r

dr

dU

F r 2 () = - = - w.

Тогда получим вид потенциального поля в центрифуге

C

m r

dU m rdr U m rdr +

-

= - ® = - ò = 2

2 2

2 2 w

w w.

30

Примем постоянную интегрирования С = 0. Тогда получим выражение для рас-

чета давления газа в центрифуге:

kT

m r

kT

U

P r P e Pe 2

0 0

2 2

()

w

= =

-

.

Отсюда находим искомое отношение:

kT

m r

e

P

P r 2

0

2 2

() w

=

Учтем, что

A N

M

m = - масса молекулы кислорода, w = 2pn - угловая ско-

рость вращения, kN R A = - универсальная газовая постоянная.

В итоге получаем

1, 26

() 8, 31290

2 2 3, 14 2810 80 0, 4

0

2 2 2 2 3 2 2

= = = ×

× × × × × -

e e

P

P r RT

p Mn r

Ответ: в 1, 26 раз.

Пример 4 Рассчитать среднее число столкновений, испытываемых за 5 с моле-

кулой азота при температуре 170С и давлении 105 Па.

Решение.

Среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой за едини-

цу времени, равно

z pd n u 2 = 2,

где d – эффективный диаметр молекулы; n - концентрация молекул; u - сред-

няя арифметическая скорость теплового движения молекул.

За время t число столкновений составит

z z t pd n u t 2 = = 2 (1)

Средняя арифметическая скорость определяется выражением

M

RT

p

u

8

=.

Найдем концентрацию молекул:

MV

mN

V

N

V

N

n A A = = =

n

.

Из уравнения Клапейрона - Менделеева выразим

RT

P

MV

m

=.

Подставив полученные выражения в (1), получим:

t

RTM

t d PN

M

RT

RT

N P

z d A

A p

p

p 2 2 4

8

= 2 =.

10

3

10 2 5 23 5 3, 75 10

8, 31 290 28 10

3, 14

4 (3, 8 10) 10 6, 02 10 × = ×

× × ×

= × × × × × -

- z.

Ответ: 3, 75× 1010.

31

Пример 5 Найти показатель адиабаты g для смеси газов, состоящей из количе-

ства n1 = 5 моль гелия и количества n2 = 3 моль азота.

Решение.

Показателем адиабаты g называется отношение удельных теплоемкостей

смеси газа cv (при постоянном объеме) и ср (при постоянном давлении)

V

Р

с

с

g =.

Удельную теплоемкость смеси газа cv при постоянном объеме найдем из

уравнения теплового баланса: количество теплоты, затраченное на нагрев сме-

си, равно количеству теплоты, идущему на нагрев компонент смеси, т.е.

с m t с m t с m t V V V D + D = D 1 1 2 2.

Учтем, что 1 1 1 m =n M, 2 2 2 m =n M,

1

1

1 2 M

i R

сV =,

2

2

2 2 M

i R

сV =, а Dt одинаково, то-

гда получим

()

2 2 2 2 1 1 2 2

2

2

1 1

1

1 M c M M

M

i R

M

M

i R

V n + n = n +n

Отсюда выражаем cv:

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

2

2

1

1

2

2 2

M M

R i i

M M

R

i

R

i

cV n n

n n

n n

n n

+

+

= ×

+

+

=.

Гелий – одноатомный газ, поэтому у него число степеней свободы i1 = 3, моляр-

ная масса гелия М1 = 4× 10-3 кг/моль. Азот – двухатомный газ, поэтому у него

число степеней свободы i2 = 5, молярная масса азота М2 = 28× 10-3 кг/моль.

Проводя аналогичные выкладки для расчета удельной теплоемкости сме-

си газа ср при постоянном давлении, с учетом того, что

1

1

1 2

2

M

i R

сР

+

= и

2

2

2 2

2

M

i R

сР

+

=, получаем:

1 1 2 2

1 1 2 2 (2) (2)

2 M M

R i i

cР n n

n n

+

+ + +

= ×.

Тогда показателем адиабаты g будет определяться выражением

1 1 2 2

1 1 2 2 (2) (2)

n n

n n

g

i i

i i

с

с

V

Р

+

+ + +

= =.

Подставляя числовые значения, получим

1, 53

30

46

3 5 5 3

(3 2) 5 (5 2) 3

= =

× + ×

+ × + + ×

g =.

Ответ: 1, 53.

32

Пример 6 Кислород занимает объем V1 = 1л и находится под давлением Р1 =

=200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3л, а

затем при постоянном объеме до давления Р3 = 500 кПа. Найти: изменение DU

внутренней энергии газа; совершенную им работу А; количество теплоты Q,

переданное газу.

Решение.

Изменение внутренней энергии газа при его переходе из состояния 1 в

состояние 3 найдем по формуле

()

2 3 1 R T T

i

DU = n -.

Решение.

Работа затрачивается на изменение свободной энергии DЕ поверхности

жидкости А = DЕ. Свободная энергия пропорциональна площади поверхности

E =sS,

где s - поверхностное натяжение жидкости.

У мыльного пузыря 2 поверхности, радиусы которых почти равны из-за

малой толщины пленки, поэтому

(2)

1

2

2 DE = 2sDS = 2s 4pR - 4pR.

Радиус пузыря выразим через объем

3 1

1 4

3

p

V

R =, 3 2

2 4

3

p

V

R =.

Получаем в итоге

÷ ÷

÷

ø

ö

ç ç

ç

è

æ

÷ ø

ö

ç è

æ

- ÷ ø

ö

ç è

æ

=

÷ ÷

÷

ø

ö

ç ç

ç

è

æ

÷ ø

ö

ç è

æ

- ÷ ø

ö

ç è

æ

= D =

3

2

1

3

2

2

3

2

1

3

2

2

4

3

4

3

8

4

3

4

3

2 4

p p

sp

p p

s p

V V V V

A E.

Подставим числовые значения:

мкДж

V V

A 66

4 3, 14

3 5 10

4 3, 14

3 10 10

8 40 10 3, 14

4

3

4

3

8

3

2

3 6

2

6

3

3

2

1

3

2

2»

÷ ÷

÷

ø

ö

ç ç

ç

è

æ

÷ ÷

ø

ö

ç ç

è

æ

×

× ×

- ÷ ÷

ø

ö

ç ç

è

æ

×

× ×

= × × × ×

÷ ÷

÷

ø

ö

ç ç

ç

è

æ

÷ ø

ö

ç è

æ

- ÷ ø

ö

ç è

æ

=

- -

-

p p

sp.

Ответ: 66 мкДж.

34