Итак, получается, что движущиеся заряды (ток) создают магнитное поле, а движущееся магнитное поле создает (вихревое) электрическое поле и собственно индукционный ток.

Для каждого конкретного случая Фарадей указывал направление индукционного тока.

В 1833 г. русский физик Э.Х. Ленц установил общее правило нахождения направления тока: индукционный ток всегда направлен так, что магнитное поле этого тока препятствует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток. Это утверждение носит название правило Ленца. Заполнение всего пространства однородным магнетиком приводит, при прочих равных условиях, к увеличению индукции в µ раз. Этот факт подтверждает то, что индукционный ток обусловлен изменением потока вектора магнитной индукции , а не потока вектора напряженности .

Для создания тока в цепи необходимо наличие электродвижущей силы. Поэтому явление электромагнитной индукции свидетельствует о том, что при изменении магнитного потока в контуре возникает электродвижущая сила индукции . Наша задача, используя законы сохранения энергии, найти величину и выяснить ее природу. Рассмотрим перемещение подвижного участка 1–2 контура с током в магнитном поле (рис. 3.4).

Пусть сначала магнитное поле отсутствует. Батарея с ЭДС равной создает ток . З а времяd t, батарея совершает работу:

,

(3.2.1)

Эта работа будет переходить в тепло, которое можно найти по закону Джоуля–Ленца:

здесь , R – полное сопротивление всего контура.

Поместим контур в однородное магнитное поле с индукцией . Линии || и связаны с направлением тока «правилом буравчика». Поток Ф, сцепленный с контуром – положителен.

Каждый элемент контура испытывает механическую силу . Подвижная сторона рамки будет испытывать силу . Под действием этой силы участок 1–2 будет перемещаться со скоростью . При этом изменится и поток магнитной индукции. Тогда в результате электромагнитной индукции, ток в контуре изменится и станет равным:

Изменится и сила , которая теперь станет равной результирующей силе . Эта сила за время d t произведет работу d A:

Как и в случае, когда все элементы рамки неподвижны, источником работы является .

При неподвижном контуре эта работа сводилась только лишь к выделению тепла. В нашем случае тепло тоже будет выделяться, но уже в другом количестве, так как ток изменился. Кроме того, совершается механическая работа. Общая работа за время d t равна:

,

(3.2.2)

Умножим левую и правую часть выражения (3.2.2) на , получим

Отсюда

,

(3.2.3)

Полученное выражение (3.2.3) мы вправе рассматривать как закон Ома для контура, в котором, кроме источника , действует , равная:

,

(3.2.4)

ЭДС индукции контура () равна скорости изменения потока магнитной индукции, пронизывающей этот контур.

Это выражение (3.2.4) для ЭДС индукции контура является совершенно универсальным, не зависящим от способа изменения потока магнитной индукции и носит название закон Фарадея.

Знак минус – математическое выражение правила Ленца о направлении индукционного тока: индукционный ток всегда направлен так, чтобы своим полем противодействовать изменению начального магнитного поля.

Направление индукционного тока и направление связаны «правилом буравчика» (рис. 3.5).

Размерность ЭДС индукции: .

Если контур состоит из нескольких витков, то надо пользоваться понятием потокосцепления (полный магнитный поток):

где N – число витков.

Итак, если

,

Тогда закон Фарадея можно записать в следующем виде:

,

Ответим на вопрос, что является причиной движения зарядов, причиной возникновения индукционного тока. Рассмотрим рис. 3.6.

Если перемещать проводник в однородном магнитном поле , то под действием силы Лоренца, электроны будут отклоняться вниз, а положительные заряды вверх – возникает разность потенциалов. Это и будет – сторонняя сила, под действием которой течет ток. Как мы знаем, для положительных зарядов

для электронов

· Если проводник неподвижен, а изменяется магнитное поле, какая сила возбуждает индукционный ток в этом случае?

Возьмем обыкновенный трансформатор (рис. 3.3). Как только мы замкнули цепь первичной обмотки, во вторичной обмотке сразу возникает ток. Сила Лоренца здесь ни причем, т.к. она действует на движущиеся заряды.

Ответ был дан Дж. Максвеллом в 1860 г.: всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве переменное электрическое поле . Оно и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. То есть, возникает только при наличии переменного магнитного поля (на постоянном токе трансформатор не работает). Сущность явления электромагнитной индукции совсем не в появлении индукционного тока (ток появляется тогда, когда есть заряды и замкнута цепь), а в возникновении вихревого электрического поля (не только в проводнике, но и в окружающем пространстве, в вакууме).

Это поле имеет совершенно иную структуру, нежели поле, создаваемое зарядами. Так как оно не создается зарядами, то силовые линии не могут начинаться и заканчиваться на зарядах, как это было у нас в электростатике. Это поле вихревое, силовые линии его замкнуты.

Так как это поле перемещает заряды, оно обладает силой. Введем вектор напряженности вихревого электрического поля . Сила, с которой это поле действует на заряд,

Но когда заряд движется в магнитном поле, на него действует сила Лоренца:

Эти силы должны быть равны: , отсюда:

,

(3.3.1)

здесь – скорость движения заряда q относительно . Но для явления электромагнитной индукции важна скорость изменения магнитного поля . Поэтому можно записать:

,

(3.3.2)

где – скорость движения магнитного поля относительно заряда.

ЭДС индукции . Если площадь S, которую пронизывает магнитный поток, величина постоянная (S = const), то можно записать:

то есть, ЭДС индукции пропорциональна скорости изменения магнитного поля .

До сих пор мы рассматривали индукционные токи в линейных проводниках. Но индукционные токи будут возникать и в толще сплошных проводников при изменении в них потока вектора магнитной индукции . Они будут циркулировать в веществе проводника (напомним, что линии – замкнуты). Так как электрическое поле вихревое, то и токи называются вихревыми токами, или токами Фуко.

Если медную пластину отклонить от положения равновесия и отпустить так, чтобы она вошла со скоростью υ в пространство между полосами магнита, то пластина практически остановится в момент ее вхождения в магнитное поле (рис. 3.8).

Замедление движения связано с возбуждением в пластине вихревых токов, препятствующих изменению потока вектора магнитной индукции. Поскольку пластина обладает конечным сопротивлением, токи индукции постепенно затухают и пластина медленно двигается в магнитном поле. Если электромагнит отключить, то медная пластина будет совершать обычные колебания, характерные для маятника. Сила и расположение вихревых токов очень чувствительны к форме пластины. Если заменить сплошную медную пластину «гребенкой» – медной пластиной с пропилами, то вихревые токи в каждой части пластины возбуждаются меньшими потоками. Индукционные токи уменьшаются, уменьшается и торможение (рис. 3.9). Маятник в виде гребенки колеблется в магнитном поле почти без сопротивления. Этим опытом объясняется, почему сердечники электромагнитов, трансформаторов делают не из сплошного куска железа, а набранными из тонких пластин, изолированных друг от друга. В результате уменьшаются токи Фуко и выделяемое ими тепло. Токи Фуко применяются в электрометаллургии для плавки металлов. Металл помещают в переменное магнитное поле, создаваемое током частотой 500 – 2000 Гц. В результате индуктивного разогрева металл плавится, а тигль, в котором он находится, при этом остается холодным. Например, при подведенной мощности 600 кВт тонна металла плавится за 40–50 минут.

Если быстропеременный высокочастотный ток протекает по проводнику, то вихревые токи, индуцируемые в проводнике, препятствуют равномерному распределению плотности тока по поперечному сечению проводника – плотность тока на оси провода оказывается меньше, чем у его поверхности. Ток как бы вытесняется на поверхность провода, при этом вихревые токи по оси проводника текут против направления основного тока, а на поверхности – в том же направлении (рис. 3.10). Это явление называется скин-эффектом (от англ. skin – кожа, оболочка). Впервые это явление описано в 1885–1886 гг. английским физиком О. Хевисайдом, а обнаружено на опыте его соотечественником Д. Юзом в 1886 г.

При нарастании тока в проводе ЭДС индукции направлена против тока. Электрическое поле самоиндукции максимально на оси провода, что приводит к неравномерному распределению плотности тока. Плотность тока убывает от поверхности к оси провода примерно по экспоненциальному закону.

Явление самоиндукции. Влияние самоиндукции на ток при замыкании и размыкании цепи, содержащей индуктивность. Взаимная индукция. Индуктивность трансформатора. Энергия магнитного поля.

На практике чаще всего магнитные поля создаются с помощью различного рода соленоидов, т.е. многовитковых контуров с током. Здесь возможны два случая: при изменении тока в контуре изменяется магнитный поток, пронизывающий: а ) этот же контур; б ) соседний контур.

ЭДС индукции, возникающая в самом же контуре, называется ЭДС самоиндукции, а само явление – самоиндукция. Если же ЭДС индукции возникает в соседнем контуре, то говорят о явлении взаимной индукции. Ясно, что природа явления одна и та же, а разные названия использованы для того, чтобы подчеркнуть место возникновения ЭДС индукции. Явление самоиндукции открыл американский ученый Дж. Генри.

Явление самоиндукции можно определить следующим образом.

Ток I, текущий в любом контуре, создает магнитный поток Ф, пронизывающий этот же контур. При изменении I будет изменяться Ф. Следовательно, в контуре будет наводиться ЭДС индукции.

Т.к. магнитная индукция В пропорциональна току I следовательно

где L – коэффициент пропорциональности, названный индуктивностью контура.

Если внутри контура нет ферромагнетиков, то (т.к. ).

Индуктивность контура L зависит от геометрии контура, числа витков, площади витка контура.

За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого контура, у которого при токе возникает полный поток . Эта единица называется Генри (Гн).

Размерность индуктивности:

Вычислим индуктивность соленоида L. Если длина соленоида l гораздо больше его диаметра d ( ), то к нему можно применить формулы для бесконечно длинного соленоида. Тогда

здесь N – число витков. Поток через каждый из витков

Потокосцепление

Но мы знаем, что , откуда индуктивность соленоида

где n – число витков на единицу длины, т.е. – объем соленоида, значит

,

(5.1.1)

Из этой формулы можно найти размерность для магнитной постоянной:

При изменении тока в контуре возникает ЭДС самоиндукции, равная:

,

(5.1.2)

Знак минус в этой формуле обусловлен правилом Ленца. Явление самоиндукции играет важную роль в электротехнике и радиотехнике. Как мы увидим дальше, благодаря самоиндукции происходит перезарядка конденсатора, соединенного последовательно с катушкой индуктивности, в результате в такой LC -цепочке (колебательном контуре) возникают электромагнитные колебания.

Рассмотрим несколько случаев влияния ЭДС самоиндукции на ток в цепи.

Случай 1.

По правилу Ленца, токи возникающие в цепях вследствие самоиндукции всегда направлены так, чтобы препятствовать изменению тока, текущего в цепи. Это приводит к тому, что при замыкании ключа К установление тока I ₂ в цепи, содержащей индуктивность L, будет происходить не мгновенно, а постепенно (рис. 5.1).

Сила тока в этой цепи будет удовлетворять уравнению

,

(5.2.1)

Скорость возрастания тока будет характеризоваться постоянной времени цепи:

,

(5.2.2)

В цепи, содержащей только активное сопротивление R, ток установится практически мгновенно (пунктирная кривая рис. 5.1).

Случай 2.

При переводе ключа из положения 1 в 2 в момент времени , ток начнет уменьшаться, но ЭДС самоиндукции будет поддерживать ток в цепи, т.е. препятствовать резкому уменьшению тока (рис. 5.2). В этом случае убывание тока в цепи можно описать уравнением

,

(5.2.3)

Оба эти случая говорят, что чем больше индуктивность цепи L и чем меньше сопротивление R, тем больше постоянная времени τ и тем медленнее изменяется ток в цепи.

Случай 3.

Размыкание цепи, содержащей индуктивность L. Т.к. цепь разомкнута, ток не течёт, поэтому рисуем зависимость (рис. 5.3).

При размыкании цепи в момент времени , . Это приводит к резкому возрастанию ЭДС индукции, определяемой по формуле

Происходит этот скачок вследствие большой величины скорости изменения тока .

резко возрастает по сравнению с и даже может быть в несколько раз больше . Поэтому нельзя резко размыкать цепь, включающую в себя трансформаторы и другие индуктивности.

Возьмем два контура, расположенные недалеко друг от друга, как это показано на рисунке 5.4.

В первом контуре течет ток . Он создает магнитный поток, который пронизывает и витки второго контура.

,

(5.3.1)

При изменении тока во втором контуре наводится ЭДС индукции:

,

(5.3.2)

Аналогично, ток второго контура создает магнитный поток, пронизывающий первый контур:

,

(5.3.3)

И при изменении тока наводится ЭДС:

,

(5.3.4)

Контуры называются связанными, а явление – взаимной индукцией. Коэффициенты и называются взаимной индуктивностью, или коэффициентами взаимной индукции. Причём

Трансформатор является типичным примером двух связанных контуров. Рассмотрим индуктивность трансформатора и найдем коэффициент трансформации.

Итак, явление взаимной индукции используется в широко распространенных устройствах – трансформаторах.

Трансформатор был изобретен Яблочковым, русским ученым, в 1876 г. для раздельного питания отдельных электрических источников света (свечи Яблочкова).

Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек и , намотанных на общий сердечник (рис. 5.5).

Когда в первой катушке идет ток , в сердечнике возникает магнитная индукция и магнитный поток Ф через поперечное сечение S.

Магнитное поле тороида можно рассчитать по формуле

Через вторую обмотку проходит полный магнитный поток , сцепленный со второй обмоткой:

здесь – потокосцепление, которое можно найти по формуле:

По определению, взаимная индуктивность двух катушек равна:

К первичной обмотке подключена переменная ЭДС . По закону Ома ток в этой цепи будет определяться алгебраической суммой внешней ЭДС и ЭДС индукции.

где – сопротивление обмотки.

– делают малым (медные провода) и . Тогда

Во второй обмотке, по аналогии, , отсюда

,

(5.4.1)

Если пренебречь потерями, т.е. предположить, что , то

,

(5.4.2)

Коэффициент трансформации будет равен:

Рассмотрим случай, о котором мы уже говорили (рис. 5.6).

Сначала замкнем соленоид L на источник ЭДС , в нем будет протекать ток . Затем в момент времени переключим ключ в положение 2 – замкнем соленоид на сопротивление R. В цепи будет течь убывающий ток I. При этом будет совершена работа: , или

,

(5.5.1)

Эта работа пойдет на нагревание проводников. Но откуда взялась эта энергия? Поскольку других изменений, кроме исчезновения магнитного поля в окружном пространстве, не произошло, остается заключить, что энергия была локализована в магнитном поле. Значит, проводник с индуктивностью L, по которой течет ток I, обладает энергией

,

(5.5.3)

Выразим энергию магнитного поля через параметры магнитного поля. Для соленоида:

.

; отсюда

Подставим эти значения в формулу (5.5.3):

,

(5.5.4)

Обозначим w – плотность энергии, или энергия в объеме V, тогда

,

(5.5.5)

но т.к. , то

или

(5.5.6)

Энергия однородного магнитного поля в длинном соленоиде может быть рассчитана по формуле

,

(5.5.7)

а плотность энергии

,

(5.5.8)

Плотность энергии магнитного поля в соленоиде с сердечником будет складываться из энергии поля в вакууме и в магнетике сердечника:

, отсюда .

Т.к. в вакууме , имеем