Введение в пифагорейскую теорию чисел

(Следующее ниже изложение пифагорейской математики является пересказом начальных глав книги Томаса Тэйлора «Теоретическая арифметика», редчайшей и ценнейшей компиляции пифагорейских математических фрагментов.)

Пифагорейцы объявляли арифметику матерью всех математических наук. Это доказывается тем фактом, что геометрия, музыка и астрономия зависят от нее, а она от них – нет. Таким образом, можно убрать геометрию, а арифметика останется, но если убрать арифметику, то придется убрать и геометрию. Так же и музыка зависит от арифметики, а устранение музыки заденет арифметику только краем. Пифагорейцы также показали первичность арифметики по отношению к астрономии, потому что последняя опирается на музыку и геометрию. Размер, форма и движение небесных тел определяются посредством геометрии, а их гармония и ритм посредством музыки. Если убрать астрономию, не пострадают ни геометрия, ни музыка, но если устранить геометрию и музыку, астрономия будет разрушена. Первичность геометрии и музыки перед астрономией, таким образом, установлена. Арифметика, однако, первична по отношению ко всему. Она первична и фундаментальна,

Пифагор учил своих последователей, что наука математика разделена на две главные части. Первая часть имеет дело с множественностью, или составляющими частями вещи, а вторая – с величиной, или относительной величиной, плотностью вещи.

Величина делится на две части – величину постоянную и величину изменяющуюся, и постоянная часть имеет приоритет перед изменяющейся. Множественность также разделяется на две части, потому что она относится как к самой себе, так и к другим, и первое отношение имеет приоритет. Пифагор посчитал арифметику имеющей дело с множественностью, относящейся к самой себе, а искусство музыки – с множественностью, относящейся к другим вещам. Геометрия подобным образом считается имеющей дело с постоянной величиной, а астрономия – с изменяющейся величиной. И множественность, и величина очерчены сферой ума. Атомистическая теория является результатом числа, потому что масса образована частицами и ошибочно принимается за одну простую субстанцию.

Ограничиваясь фрагментами существующих пифагорейских записей, трудно прийти к точному истолкованию терминов. Но даже перед попыткой подобного рода следует пролить некоторый свет на значение таких понятий, как число, монада и единое.

Монада означает: а) всеобъемлющее единое. Пифагорейцы называли монаду «благородным числом, Прародителем богов и людей». Монада также означает: б) сумму любых комбинаций чисел, рассматриваемую как целое. Таким образом, вселенная рассматривается как монада, но индивидуальные части вселенной (такие, как планеты и элементы) являются монадами по отношению к частям, из которых они сделаны, хотя они, в свою очередь, являются частями больших монад, образованных из их суммы. Монада также может быть уподоблена: в) семени дерева, которое, когда оно выросло, имеет много ветвей (чисел). Другими словами, числа также относятся к монаде, как ветви дерева к его семечку. Из изучения таинственных пифагорейских монад Лейбниц развил свою восхитительную теорию мировых атомов – теорию, превосходно согласующуюся с древними учениями тайных школ. Некоторыми пифагорейцами монады также рассматриваются как: г) синонимы единого.

Число есть термин, приложимый ко всем цифрам и их комбинациям. (Строгая интерпретация термина число некоторыми пифагорейцами исключала 1 и 2.) Пифагор определяет число как расширение и энергию сперматических оснований, содержащихся в монаде. Последователи Гиппаса объявили число первым образцом, использованным демиургом при сотворении вселенной.

Единое определяется платонистами как вершина многого. Единое отличается от монады тем, что термин монада используется для обозначения суммы частей, рассматриваемой как единичное, в то время как единое есть термин, приложимый к каждой из его частей, составляющих целое.

Имеются два порядка чисел: четные и нечетные. Поскольку единое, или 1, всегда остается неделимым, нечетное число равным образом не может быть разделено поровну. Таким образом, 9 есть 4 + 1 + 4, и поскольку в середине стоит единица, число не может быть разделено поровну. Далее, если некоторое нечетное число разделить на две части, одна часть всегда будет четной, а другая нечетной. Таким образом, 9 может быть представлено как 5 + 4, 3 + 6, 7 + 2 или 8 + 1. Пифагорейцы рассматривали нечетное число, прототипом которого была монада, определенным и мужским. Они, правда, не пришли к согласию относительно природы единого, или 1. Некоторые считали его положительным, потому что если его добавить к четному (отрицательному) числу, получится нечетное (положительное) число. Другие утверждали, что если единицу добавить к нечетному числу, последнее станет четным и, таким образом, мужское превращается в женское. Единое, или 1, следовательно, рассматривается как андрогинное число, совмещающее как мужские, таки женские атрибуты; следовательно, оно четно и нечетно одновременно. По этой причине пифагорейцы назвали его четно‑ нечетным. В обычаях у пифагорейцев было приношение высшим богам нечетного числа предметов, в то время как богиням и подземным духам приносилось четное число.

Любое четное число может быть разделено на две равные части, обе из которых либо четны, либо нечетны. Таким образом, 10 делится на равные части, 5 + 5, где обе части нечетны. Тот же принцип истинен, если 10 разделить на две неравные части. Например, в 6 + 4 обе части четны, в 7 + 3 обе части нечетны, в 8 + 2 обе части опять четны, и в 9 + 1 нечетны. Таким образом, в четном числе, как бы его ни делить, части всегда либо четны, либо нечетны. Пифагорейцы рассматривали четное число, прототипом которого была дуада, неопределенным и женским.

Нечетные числа делятся специальной математической процедурой, называемой Решетом Эратосфена, на три общих класса: несоставные, составные и несоставные‑ составные.

Несоставные числа – это такие числа, которые не имеют других делителей, кроме себя самого и единицы, такие как 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 и так далее. Например, 7 делится только на 7, которое только один раз вмешается в него, и на единицу, которая вмещается в него семь раз.

Составные числа – это те, которые делимы не только сами на себя и на единицу, но также и на некоторые другие числа. Составными числами являются 9, 15, 21, 25, 27, 33, 39, 45, 51, 57 и так далее. Например, 21 делимо не только на себя и единицу, но также на 3 и 7.

Несоставные‑ составные числа – это числа, не имеющие общего делителя, хотя каждое из них делимо, такие как 9 и 25. Например, 9 делимо на 3 и 25 на 5, но ни одно из них не делимо на делитель другого. Таким образом, они не имеют общего делителя. Поскольку они имеют индивидуальные делители, они называются составными, а поскольку они не имеют общего делителя, они называются несоставными. Поэтому для описания этих свойств был придуман термин несоставные‑ составные.

Четные числа делятся на три класса: четно‑ четные, четно‑ нечетные и нечетно‑ четные.

Четно‑ четные числа представляют собой удвоения чисел, начиная с единицы. Таким образом, это 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 и 1024. Доказательство совершенства четно‑ четных чисел состоит в том, что они могут делиться пополам, еще раз пополам и так далее до получения единицы. Так, 1/2 от 64 = 32; 1/2 от 32 = 16; 1/2 от 16 = 8; 1/2 от 8 = 4; 1/2 от 4 = 2; 1/2 от 2 = 1; за пределы 1 идти невозможно.

Четно‑ четные числа обладают некоторыми уникальными свойствами. Сумма любого числа терминов, кроме последнего, всегда равна последнему термину минус единица. Например, сумма первого и второго терминов (1+2) равна третьему термину (4) минус 1. Или же сумма четырех терминов (1 + 2 + 4 + 8) равна пятому термину (16) минус один.

Ряд четно‑ четных чисел имеет и такое свойство: первый член, умноженный на последний, дает последний; второй, умноженный на второй от конца, дает последний и так далее пока в ряду с нечетным числом терминов не останется одно число, которое, будучи умножено само на себя, даст последнее число в ряду. Например, ряд 1, 2, 4, 8. 16 – ряд с нечетным числом терминов. Первый термин, 1, будучи умножен на последний, дает последний, 16. Второй термин, 2, будучи умножен на предпоследний, 8, дает последний, 16. Оставшийся в середине термин, будучи умножен сам на себя, даст последний термин, 16.

Четно‑ нечетные числа – это те числа, которые, будучи разделены пополам, не делятся дальше пополам. Они образуются так: берется нечетное число, умножается на два. и так весь ряд нечетных чисел. В этом процессе нечетные числа 1, 3, 5, 7, 9, 11 дают четно‑ нечетные числа 2, 6, 10, 14, 18, 22. Таким образом, каждое четвертое число является четно‑ нечетным. Каждое такое число делится на 2 один раз и больше на 2 делиться не может. Так, при делении пополам 2 получаются две 1, при делении 6 получаются две 3, которые не могут далее делиться пополам.

Другая особенность четно‑ нечетных чисел состоит в том, что если делитель – нечетное число, частное всегда будет четным, а если делитель – четное число, частное будет нечетным. Например, если 18 делить на 2, четный делитель, частное 9 будет нечетно, или если 18 разделить на 3, частное 6 будет четным.

Четно‑ нечетные числа еще примечательны тем, что каждый термин в ряду является половиной суммы терминов по обе стороны его в ряду. Например, 10 есть половина суммы 6 и 14; 18 есть половина суммы 14 и 22; и 6 есть половина суммы 2 и 10.

Нечетно‑ нечетные числа или нечетно‑ четные являются компромиссом между четно‑ четными и четно‑ нечетными числами. В отличие от четно‑ четных они не могут последовательным делением пополам привести к 1, и в отличие от четно‑ нечетных они позволяют более чем однократное деление пополам. Нечетно‑ нечетные числа образуются умножением четно‑ четных, которые больше 2, на нечетные числа больше 1.

^{Из книги Т. Тэйлора «Теоретическая арифметика»}

^{РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА}

^{Решето – это математический прием, придуманный Эратосфеном около 230 г. до P. X. для отделения составных от несоставных нечетных чисел. Этот прием чрезвычайно прост в использовании, как только освоен. Все нечетные числа упорядочиваются по величине, как показано на второй снизу таблице, которая названа нечетные числа. Из таблицы видно, что каждое третье число, начиная с 3, делится на 3. Далее, каждое пятое число дели гея на 5. каждое седьмое число делится на 7, каждое девятое число делится на 9 и так далее до бесконечности. Этот процесс отсеивает то, что пифагорейцы называли простыми числами, то есть такими, которые не имеют других делителей, кроме 1 и самих себя. Они приведены на нижней таблице, называемой первичные и несоставные числа. В своей «Истории математики» Дэвид Смит говорит, что Эратосфен был одним из величайших мыслителей Александрии, и восхищенные поклонники называли его вторым Платоном. Эратосфен обучался в Афинах и был известен не только как автор «решета», но и как человек, вычисливший очень остроумным методом диаметр и окружность Земли. Его оценка диаметра расходится с современными данными всего лишь на 50 миль. Эти и другие достижения Эратосфена неоспоримо свидетельствуют о том. что в III веке до н. э. греческие математики знали не только о шарообразности Земли, но могли с большой точностью оценить ее размер и ее удаленность от Солнца и Луны. Аристарх Самосский, другой великий греческий астроном и математик, живший около 250 г. до P. X., с помощью философской дедукции, а также нескольких простых инструментов установил, что Земля вращается вокруг Солнца. Хотя Коперник верил, что он открыл этот факт, на самом деле он лишь установил то, что было известно семнадцатью веками ранее.}

Нечетные числа больше одного – это 3, 5, 7, 9, 11 и так далее. Четно‑ четные числа больше 2 – это 4, 8, 16, 32, 64 и так далее. Первое нечетное число в ряду, 3, умножается на 4, первое четно‑ четное число в ряду, и получается 12, первое нечетно‑ нечетное число. Умножением 5, 7, 9, 11 и так далее на 4 получаются нечетно‑ нечетные числа. Другие нечетно‑ нечетные числа получаются умножением 3, 5, 7, 9, 11 и так далее на другие четно‑ четные числа 8, 16, 32, 64 и так далее по очереди. Например, деление пополам нечетно‑ нечетного числа дает следующее: 1/2 от 12 = 6, 1/2 от 6 = 3, которое дальше не может быть разделено пополам, поскольку пифагорейцы не делили 1.

Четные числа разделяются на три других класса: сверхсовершенные, несовершенные и совершенные.

Сверхсовершенные или сверхизобилъные числа – это такие, сумма дробных частей которых больше их самих. Например, 1/2 от 24 = 12, 1/4 = 6, 1/3 = 8, 1/6 = 4, 2 = 1/12 и 1/24 = 1. Сумма этих частей 12 + 6 + 8 + 4 + 2 + 1 = 33, что превышает 24, исходное число.

Несовершенное число – это такое число, сумма дробных частей которого меньше его самого. Например, 1/2 от 14 = 7; 1/7 = 2 и 1/14 = 1. Сумма этих частей 7 + 2 + 1 = 10, что меньше 14, исходного числа.

Совершенное число – это такое число, сумма дробных частей которого равна самому числу. Например, 1/2 от 28 = 14, 1/4 = 7, 1/7 = 4, 1/14 = 2 и 1/28 = 1. Сумма этих частей 14 + 7 + 4 + 2+ 1 = 28.

Совершенные числа чрезвычайно редки. Есть только одно число между 1 и 10, а именно 6; одно между 10 и 100, а именно 28; одно между 100 и 1000, а именно 496; и одно между 1000 и 10 000, а именно 8128. Совершенные числа находят следующим образом: первое число четно‑ четного ряда (1, 2, 4, 8, 16, 32 и так далее) складывается со вторым числом ряда, и если получается простое число, оно умножается на последнее число ряда четно‑ четных чисел, участвовавшее в образовании суммы. Например, первое и второе числа четно‑ четного ряда – это 1 и 2. Их сумма равна 3, которое является несоставным. Если 3 умножить на 2, последнее число ряда, участвовавшее в образовании 3, получается 6, первое совершенное число. Если же сложение четно‑ четных чисел не приводит к несоставному числу, нужно добавить еще одно число из этого ряда до получения несоставного числа. Второе совершенное число получается так: сумма четно‑ четных чисел 1, 2 и 4 равна 7, несоставному числу. Если 7 умножить на 4, последнее в ряду четно‑ четных чисел, использовавшихся при получении 7, то произведение будет равно 28, второму совершенному числу. Этот метод получения совершенных чисел может вести к сколь угодно большим числам.

Совершенные числа, будучи умноженными на 2, дают сверхизобильные числа, а будучи разделенными на 2, дают несовершенные числа.

Пифагорейцы развивали свою философию из науки о числах. Следующий ниже пример из «Теоретической арифметики» дает отличное представление об этой практике:

«Совершенные числа, следовательно, есть прекрасные образы добродетелей, которые представляют собою середину между излишеством и недостатком, и они не являются вершиной, как предполагали некоторые древние. И зло в самом деле противостоит злу, но оба зла противостоят добру. Добро же, однако, никогда не противостоит добру, но может противостоять тому или иному злу в одно и то же время. Таким образом, робость противостоит смелости, обе могут иметь общим храбрость, но робость и смелость противоположны стойкости. Ловкость противоположна глупости, и для этих качеств общим является желание обрести интеллект, и вместе они противоположны благоразумию. Таким образом, расточительность противоположна скупости, и общим для них является ограниченность, и вместе они противоположны свободе. И подобным же образом для других добродетелей, из чего видно, что совершенные числа подобны добродетелям. Но они также напоминают добродетели и по другому поводу: они очень редки, их мало, и порождаются они совершенным порядком. В противоположность этому сверхизобильные и несовершенные числа, которых сколь угодно много, не расположены в каком‑ либо порядке и не порождаются с некоторой определенной целью. И поэтому они имеют большое сходство с пороками, которые многочисленны, неупорядочены и неопределенны».

Таблица десяти чисел

(Следующее ниже описание пифагорейских чисел является пересказом произведений Никомаха, Феона из Смирны, Прокла, Порфирия, Плутарха, Климента Александрийского, Аристотеля и других ранних авторов.)

Монада – 1 – называется так потому, что всегда остается в одном и том же состоянии, то есть отделенной от множественности. Ее атрибутами являются следующие: она называется умом, потому что ум устойчив и имеет превосходство; гермафродитом, потому что является в одно и то же время мужчиной и женщиной; четной и нечетной, потому что, будучи добавлена к четному числу, дает нечетное, а добавленная к нечетному, дает четное; Богом, потому что является началом и концом всего, но сама по себе не есть ни начало, ни конец; добром, поскольку таков по природе Бог; вместилищем материи, потому что производит дуаду, которая существенно материальна.

Пифагор называл монаду хаосом, темнотой, бездной, Тартаром, Стиксом, Летой, Атласом, Морфой (имя для Венеры) и башней или троном Юпитера, потому что великая сила сосредоточена в центре вселенной и контролирует она движение планет вокруг себя. Монада также называется зачаточным разумом, потому что она является началом всех мыслей во вселенной. И другие имена давались ей: Аполлон, из‑ за ее отношения к Солнцу; Прометей, потому что он принес людям свет, Пиралий, в огне существующий; гороскоп, без которого ни одно число не может существовать; субстанция, поскольку она первична; причина истины и структура симфонии – все это потому, что она изначальна.

Будучи между большим и меньшим, монада равна самой себе; между намерением и свершенным она посредине; во множественности она среднее, и во времени она настоящее, потому что вечность не знает ни прошлого, ни будущего. Она называется Юпитером, потому что он отец и глава богов; Вестой, домашним очагом, потому что располагается в середине вселенной и не сдвигается ни на йоту из центра круга; формой, потому что она очерчивает, объемлет и завершает; любовью, согласием и благочестием, потому что неделима. Другие символические имена для монады – корабль, колесница, Протей (бог, могущий изменять свою форму), Мнемозина, Полинимус (имеющий много имен).

Дуаде – 2 – были даны следующие символические имена по причине того, что она всегда разделена и представляет два, а не один, и они противоположны друг другу, дух, зло, мрак, неравенство, нестабильность, подвижность, дерзость, смелость, спор, материя, несходство, разделение между множественностью и монадой, дефект, бесформенность, неопределенность, гармония, терпимость, корень, подножье горы, источник идей, мнение, ошибка, изменяемость, робость, импульс, смерть, движение, порождение, разделение, долгота, прирост, сложение, союз, несчастье, внушительность, женитьба, душа и наука.

В своей книге «Числа» У. Уэсткотт говорит о дуаде: «Она называлась Дерзостью зато, что она являлась первым числом, отделившим себя от Божественного Единого, или от, как говорили халдейские оракулы, “святая святых Богом питаемой науки״».

Так как монада есть отец, то дуада есть мать; следовательно, дуада имеет общее с богинями Исидой, Реей (матерью Юпитера), Фригией, Лилией. Диндименой (Кибелой) и Церерой, Эратой (одной из Муз), Дианой, потому что Луна рогата. Диктинной, Венерой, Дионой, Ци‑ терой, Юноной, потому что она и сестра, и жена Юпитера, Майей, матерью Меркурия.

В то время как монада является символом мудрости, дуада – символ невежества, потому что в ней существует смысл разделенности, которая есть начало невежества, Дуада, однако, есть символ матери мудрости, потому что невежество по своей собственной природе неизменно ведет к рождению мудрости.

Пифагорейцы чтили монаду и презирали дуаду, потому что она символизирует полярность. Силой дуады в противоположность небесам создается бездна. Бездна отражает небеса и становится символом иллюзии, потому что низ является просто отражением верха. Низ называется майей, иллюзией, морем, великой пустотой, и для символизации его персидские маги носили зеркала. От дуады идут споры и соперничество, пока введением монады между дуадами не восстанавливается Богом Спасителем равновесие. Бог Спаситель принимает форму числа, и Его распинают между двумя разбойниками за грехи людей.

Триада – 3 – является первым числом, которое по‑ настоящему нечетно (монада не всегда рассматривается как число). Это первое равновесие единств. Пифагор говорил, что Аполлон пророчествовал с трипода о том, что возлияние должно быть троекратным. Ключевыми словами к триаде являются «дружба», «мир», «справедливость», «благоразумие», «умеренность», «добродетель». Следующие божества разделяют принципы триады: Сатурн (правитель времени), Латона, Офион (Великий Змей), Тетия, Геката, Полигимния (муза), Плутон, Тритон, правитель моря, Тритогения, Ахелой и мойры, фурии и грации. Это число называется мудростью, потому что люди организуют настоящее, предвидят будущее и используют опыт прошлого. Оно вызывает мудрость и понимание. Триада есть число познания музыки, геометрии, астрономии и науки о небесных и земных телах. Пифагор учил, что куб этого числа имеет силу лунного цикла.

Священность триады и ее символа – треугольника – следует из того факта, что она делается из монады и дуады. Монада есть символ Божественного Отца, а дуада – Великой Матери. Триада, будучи сделанной из них, является, следовательно, андрогинной и символизирует тот факт, что Бог порождает Свои миры из Себя и Его творческий аспект всегда символизируется треугольником. Монада, переходя в дуаду, способна стать родителем потомства, потому что дуада была лоном Меру, внутри которой вызрел мир и внутри которой он все еще существует в виде эмбриона.

Тетрада – 4 – рассматривалась пифагорейцами как изначальное, всему предшествующее число, корень всех вещей, источник природы и наиболее совершенное из чисел. Все тетрады интеллектуальны; из них возникает порядок, они опоясывают мир, как эмпиреи, и проходят через него. То, почему Пифагор представлял Бога как тетраду, объясняется священным рассуждением, приписываемым самому Пифагору, где Бог называется числом чисел. Это потому, что декада, или 10, состоит из 1, 2, 3 и 4. Число 4 является символом Бога, потому что оно символ первых четырех чисел. Больше того, тетрада есть середина недели, будучи промежуточным между 1 и 7. Тетрада есть также первое геометрическое тело.

Пифагор утверждал, что душа человека состоит из тетрады, при этом четыре силы души – это ум, наука, мнение и чувство. Тетрада связывает все вещи, числа, элементы и сезоны. Ничего не может быть поименовано, что не опирается на тетрактис. Это причина и делатель всех вещей, постижимый Бог, творец небесного и чувственного добра. Плутарх интерпретирует тетрактис, который он также называет миром, как равный 36, состоящий из первых четырех нечетных чисел, сложенных с первыми четырьмя четными числами:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

2 + 4 + 6 + 8 = 20

Ключевыми словами к тетраде являются «стремительность», «сила», «мужество», «держатель ключа к природе», потому что универсальная конституция не может существовать без тетрады. Она также называется гармонией и первейшей глубиной и важностью. Следующие боги разделяют природу тетрады: Геркулес, Меркурий, Вулкан, Вакх и Урания (одна из муз).

Триада представляет главные цвета и главные планеты, в то время как тетрада представляет второстепенные цвета и малые планеты. Из первого треугольника выходят первые семь духов, символизируемые треугольником и квадратом. Вместе они образуют масонский фартук.

Пентада – 5 – есть союз четного и нечетного чисел (3 и 2). У греков пентаграмма была священным символом света, здоровья и жизненности. Она также символизирует пятый элемент, эфир, потому что он свободен от влияния четырех нижних элементов. Она называется равновесием, потому что разделяет совершенное число 10 на две равные части.

Пентада есть символ природы, потому что, будучи умножена сама на себя, она возвращается к себе, точно так же, как зерна пшеницы, рождающиеся в форме семени, проходят через природный процесс и воспроизводят семена пшеницы в виде окончательной формы своего собственного роста. Другие числа, будучи умножены сами на себя, дают другие числа, но только 5 и 6 возвращают при этом свое исходное число как последнюю цифру в произведении.

Пентада представляет все высшие и низшие существа. Иногда она понимается как жрец мистерий из‑ за своей связи с духовным эфиром, посредством которого достигается мистическое развитие. Ключевыми словами к пентаде являются «примирение», «чередование», «женитьба», «бессмертие», «сердечность», «провидение» и «звук». Среди божеств, разделяющих природу пентады, были Паллада, Немезида, Бубастия (Баст), Венера, Андрогиния, Киферея и посланники Юпитера.

Тетрада (элементы) плюс монада равно пентаде. Пифагорейцы учили, что элементы земли, огня, воздуха и воды проницаемы и для субстанции, называемой эфиром, – основы жизни и жизнеспособности. Следовательно, они выбрали пятиконечную звезду, или пентаграмму, как символ жизненности, здоровья и проницаемости.

Для философов было привычно скрывать элемент земли под символом дракона, и многим героям поручалось идти и сразить дракона. Тогда они вытаскивали свой меч (монаду) и вонзали его в тело дракона (тетрады). Этим завершалось формирование пентады, символа победы духовной природы над материальной. Четыре элемента символизировались в ранних библейских писаниях четырьмя реками, вытекающими из сада Эдема. Элементы находились под управлением сложного херувима Иезекииля.

Пифагорейцы, по утверждению Климента Александрийского, считали, что гексада – 6 – представляет сотворение мира, согласно пророкам и древним мистериям. Она называлась пифагорейцами совершенством всех частей. Это число было посвящено Орфею, а также Лахесис и музе Талии. Она называлась формой форм, сочленением вселенной и делателем души.

Греками гармония и душа рассматривались как подобные по своей природе, потому что все души гармоничны. Гексада является также символом женитьбы, потому что она образует союз двух треугольников, один женский и другой мужской. Среди ключевых слов, относящихся к гексаде, такие слова: «время», поскольку она считается измерением длительности; «панацея», потому что здоровье есть равновесие, а гексада есть равновесное число; «мир», потому что мир, подобно гексаде, часто видится состоящим из гармонизированных противоречий; «вседостаточность», потому что ее частей достаточно для всеобщности (3 + 2 + 1 = 6); «неутомимость», потому что она содержит элементы бессмертия.

Пифагорейцы называли гептаду – 7 – достойной поклонения. Она считалась числом религии, потому что человек управляется семью небесными духами, которым он делает приношения. Она часто называется числом жизни, потому что полагали, что рожденный через семь месяцев после зачатия человек живет, но те, кто рождается через восемь месяцев, часто умирают. Один автор называет ее Девой без Матери, Минервой, потому что она родилась из головы Отца, монады. Ключевыми словами к гептаде являются «удача», «случай», «опека», «управление», «правительство», «суждение», «сновидения», «голоса», «звуки» и то, что ведет вещи к их концу. Божества, чьи атрибуты были выражены гептадой, – это Осирис, Марс, Клио (одна из муз).

У многих древних народов гептада является священным числом. У евреев было семь Элохим. Они были духами восхода (более известными под именем архангелов), контролирующими планеты. Семь архангелов вместе с тремя духами, контролирующими Солнце в его тройном аспекте, составляют 10, священную пифагорейскую декаду. Таинственный пифагорейский тетрактис, или четыре ряда точек, увеличивающихся от 1 до 4, были символическими стадиями творения. Великая пифагорейская истина, что все вещи в природе порождаются через декаду, или 10, тонко сохранены масонами через рукопожатие; здесь рукопожатие понимается как соединение десяти пальцев.

Число 3 (дух, ум, душа) снисходит в 4 (мир), и результатом является сумма 7, или мистическая природа человека, состоящая из тройного духовного тела и четырехсоставной материальной формы. Они символизированы в кубе, который имеет шесть граней и таинственную седьмую точку внутри. Шесть граней – это направления: север, запад, юг, восток, верх, низ или же земля, воздух, огонь, вода, дух и материя. В середине всего этого стоит 1, которая представляет фигуру стоящего человека, от центра которого в кубе расходятся шесть пирамид. Отсюда происходит великая оккультная аксиома: «Центр есть отец всех направлений, измерений и расстояний».

Гептада есть число закона, потому что это число делателя космического закона, семи духов перед троном.

Огдоада – 8 – была священной, потому что это число первого куба, который имеет восемь вершин, и является четно‑ четным числом, наиболее близким к 10 (1–2 – 4–8 – 4–2 – 1). Восемь делится на две четверки, каждая четверка делится на двойки, и каждая двойка делится на единицы, таким образом восстанавливая монаду. Среди ключевых слов к огдоаде – «любовь», «совет», «расположение», «закон» и «соглашение». Среди божеств, которые разделяли природу огдоады, – Рея, Кибела, Кадм, Диндимена, Орк. Нептун, Темис и Эвтерпа (муза).

Огдоада была таинственным числом, ассоциированным с Элевсинскими мистериями Греции и кабирскими мистериями Самофракии.

Она называлась малым священным числом. Она заимствует свою форму от двух переплетенных змей на Кадуцее Гермеса и частично от извилистого движения небесных тел, возможно, и от движения Луны.

Эннеада – 9 – была первым квадратом нечетного числа (3x3). Она ассоциировалась с ошибками и недостатками, потому что ей недостает до совершенного числа 10 одной единицы. Она называется числом человека – из‑ за девяти месяцев его эмбрионального развития. Среди ее ключевых слов – «океан» и «горизонт», потому что для древних они были безграничными. Эннеада есть безграничное число, потому что ничего нет за ней, кроме бесконечного числа 10. Она называется границей и ограничением, потому что она собирает все числа внутри себя. Она называется сферой воздуха, потому что она окружает числа так, как воздух окружает Землю. Среди богов и богинь, разделяющих в большей или меньшей степени ее природу, – Прометей, Вулкан, Юнона, сестра и жена Юпитера, Пан, Аглая, Титогения, Куритис, Прозерпина, Гиперион и Терпсихора (муза).

Число 9 рассматривается как зло, потому что это перевернутая 6. Согласно Элевсинским мистериям, это было число сфер, через которые сознание пробивалось при своем рождении. Из‑ за своего сходства по форме со сперматозоидом 9 ассоциируется с зарождением жизни.

Декада – 10 – согласно пифагорейцам, есть величайшее число не только потому, что это тетрактис (10 точек), но и потому, что она объемлет все арифметические и гармонические пропорции. Пифагор говорит, что 10 есть природа числа, потому что все народы приходят к ней, и когда они приходят к ней, они возвращаются к монаде. Декада называлась и небом, и миром, потому что первое включает второе. Будучи универсальным числом, декада прилагалась пифагорейцами к тем вещам, которые характеризуются возрастом, силой, верой, необходимостью, мощью памяти. Она также называлась неутомимой, потому что, подобно Богу, она не подвержена усталости. Пифагорейцы делили небесные тела на десять порядков. Они также утверждали, что декада совершенствует все числа и объемлет в своей природе четные и нечетные, подвижные и неподвижные, добрые и злые. Они ассоциировали ее силу со следующими божествами: Атласом, потому что он несет числа на своих плечах, Уранией, Мнемозиной, Солнцем, планетами и Единым Богом.

Десятичная система может быть прослежена к тому времени, когда было привычным считать на пальцах, что было одним из самых примитивных счетных устройств, сохранившихся у многих первобытных народов до сих пор.