ВЕЙЛЬ (Weyl) Герман (1885—1955) — математик и философ, член Национальной Академии Наук США, лауреат Международной премии имени Лобачевского (1927).

ВЕЙЛЬ (Weyl) Герман (1885—1955) — математик и философ, член Национальной Академии Наук США, лауреат Международной премии имени Лобачевского (1927). Образование получил в Геттингенском Универ­ситете (1908). Профессор математики Политехничес­кого Института в Цюрихе (Швейцария, 1913—1930), Геттингенского Университета (Германия, 1930—1933), Принстонского Института перспективных исследова­ний (США, с 1933). Главные труды (в философии): " Континуум" (1918), " Пространство. Время. Материя" (1918), " Философия математики и естественных наук" (1922 — издание в Германии; 1934 — издание в СССР под названием " О философии математики" в виде сборника статей с сокращениями; 1949 — издание в США), " Теория групп и квантовая механика" (1928), " Разум и природа" (1934), " Математика и логика" (1946), " Полвека математики" (1951), собрание науч­ных трудов (1968, Берлин, в 4 тт.). Главные направле­ния исследований: алгебраическая теория чисел, тео­рии функций, интегральных и дифференциальных уравнений; проблемы симметрии. Основополагающие результаты достигнуты В. в направлении теории не­прерывных групп и их представлений с приложениями в современной математической физике и геометрии. В. принадлежит основополагающая концепция о клас­сификации физических объектов по свойственным им группам симметрии (1928, независимо от В. эту идею выдвинул Е.Вигнер, получивший за нее Нобелевскую премию по физике (1963), уже после ухода В. из жиз­ни). В. — автор самого первого и наиболее выдающе-

гося учебника по общей теории относительности (" Пространство. Время. Материя"), содержавшего так­же физические идеи, которые оказали определяющее влияние на развитие физических наук. Согласно В., математику многие выдающиеся мыслители рассмат­ривали как нечто, " далеко выходящее за пределы эмпи­рических данных или рациональных дедуктивных умозаключений". Одним из оснований для этого яви­лась несводимость, например, иррациональных и от­рицательных чисел (как достаточно элементарных по­нятий) ни к дедукциям из эмпирических данных, ни к объектам, заведомо существующим во внешнем мире. При этом В. писал по поводу " вечных истин": " Геделю, с его истовой верой в трансцендентальную логику, хо­чется думать, что наша логическая оптика лишь не­много не в фокусе, и надеяться, что после небольших коррекций мы будем видеть четко, и тогда всякий со­гласится, что мы видим верно. Но того, кто не разделя­ет этой веры, смущает высокая степень произвола в си­стеме Z /Цермело — C.C./ или даже в системе Гильбер­та... Никакой Гильберт не сможет убедить нас в непро­тиворечивости на вечные времена. Мы должны быть довольны, что какая-нибудь простая аксиоматическая система математики пока выдерживает проверку на­ших сложных математических экспериментов. Если на более поздней стадии появятся расхождения, то мы еще успеем сменить основания" (" Философия матема­тики и естественных наук"). В. также отмечал по это­му поводу, что " Бог существует, поскольку математика, несомненно, непротиворечива, но существует и дья­вол, поскольку доказать ее непротиворечивость мы не можем". В. по проблемам оснований математики ут­верждал (1940), что " несмотря на наше критическое озарение (а может быть, благодаря ему), мы сегодня менее, чем когда-либо раньше, уверены в основаниях, на которых зиждется математика", а вопрос об основа­ниях математики и о том, что представляет собой в ко­нечном счете математика, для В. оставался открытым, т.к. ему не было известно какое-либо направление, " ко­торое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный " окончательный" ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. " Математизи­рование" может остаться одним из проявлений творче­ской деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не подда­ется рационализации и не может быть объективным". Для В. математика была не сводом точных знаний, а видом умственной деятельности, который необходимо рассматривать в исторической перспективе, т.к. " рацио­нальные конструкции и реконструкции оснований при

таком подходе предстают перед нами как попытки ис­казить историческую правду". В., как и Э.Борель, Р.Бэр и А.Лебег, выражая сомнения в применимости теоре­тико-множественных методов, тем не менее применял их прагматически и с существенными оговорками от­носительно надежности результатов: " сейчас мы ме­нее, чем когда-либо, уверены в первичных основаниях математики и логики. Мы переживаем свой " кризис" подобно тому, как переживают его все и вся в этом ми­ре....На первый взгляд кажется, что будто нашей по­вседневной работе он не особенно мешает. Тем не ме­нее я должен сразу же признаться, что на мою матема­тическую работу этот кризис оказал заметное практи­ческое влияние: он направил мои интересы в области, которые я считал относительно " безопасными", и по­стоянно подтачивал энтузиазм и решимость, с которой я занимался своими исследованиями. Мой опыт, веро­ятно разделили и другие математики, небезразличные к тому, какое место их собственная научная деятель­ность занимает в этом мире, в общем контексте бытия человека, интересующегося, страдающего и созидаю­щего" (" Математика и логика"). Исследования В. по основаниям математического анализа показали его ло­гическую необоснованность и необходимость пожерт­вовать некоторыми его разделами: " неконструктивные доказательства существования извещают мир о том, что сокровище существует, не указывая при этом его местонахождение, т.е. не позволяя это сокровище ис­пользовать. Такие доказательства не могут заменить построение — подмена конструктивного доказательст­ва неконструктивным влечет утрату смысла и значения самого понятия " доказательства"... Уверенным можно быть только в том, что доказано интуиционистскими методами" (" Континуум"). В 1927 В. по поводу отно­шения Д.Гильберта к интуиционизму писал о том, что с интуиционистской точки зрения обоснованна только " часть классической математики, причем далеко не са­мая лучшая, — горький, но неизбежный вывод. Гиль­берту была невыносима мысль об этой ране, нанесен­ной математике". Исследования В. привели его к выво­ду о бессодержательности формализованной матема­тики, даже при условии доказательства ее непротиво­речивости. Классическая математика была спасена Гильбертом ценой ее формализации и основательного пересмотра содержания, что превратило ее, как писал В., " из системы с интуитивно воспринимаемыми ре­зультатами в игру с формулами по определенным, раз и навсегда установленным правилам...Вполне возмож­но, что математика Гильберта представляет собой ве­ликолепную игру с формулами, более увлекательную, чем шахматы. Но что, спрашивается, дает такая игра нашему разуму, если ее формулы умышленно лишены

материального содержания, посредством которого они могли бы выражать интуитивные истины '? ". Тем не менее, В. полагал, что в математике Гильберт, по суще­ству, ограничил свои принципы интуиционистскими. В., признавая " невыносимую громоздкость" конструк­тивных доказательств в интуционизме, тем не менее оспаривал тезис о большей силе традиционных спосо­бов построения новых математических объектов и до­казательств по сравнению с конструктивными: " При­ятно утешать себя надеждой, что сознанию откроются истины более глубокие по своей природе, чем те, кото­рые доступны непосредственно интуиции" (" Разум и природа"). В труде В. " Философия математики и есте­ственных наук" В. систематически изложил интуицио­нистские концепции математического знания. В. от­вергал аксиому сводимости (редукции) Уайтхеда — Рассела, являющуюся базисным основанием логицистского подхода в математических науках, т.к. считал, что теории Уайтхеда и Рассела строят математику на основаниях " не просто логики, а своего рода рая для логиков, снабженного всем необходимым " инвента­рем" весьма сложной структуры... Кто из здравомысля­щих людей... верит в этот трансцендентальный мир?...Эта сложная структура требует от нас не меньшей ве­ры, чем учения отцов церкви или средневековых фило­софов-схоластов". (" Философия математики и естест­венных наук".) Суть философской критики логицистских концепций состояла в том, что если верен основ­ной тезис логицизма (согласно которому, по Куайну, вся математика сводится к логике), то " вся математика является чисто формальной, логико-дедуктивной на­укой, теоремы которой следуют из законов мышле­ния", но тогда " каким образом с помощью дедуктивно­го вывода одни лишь законы мышления могут привес­ти к описанию неисчерпаемого разнообразия явлений природы, к различным применениям чисел, геометрии пространства, акустике, электромагнетизму и механи­ке. Именно так и следует понимать критическое заме­чание В. " Из ничего и следует ничто" (М.Клайн " Ма­тематика. Утрата неопределенности"). В., следуя исто­рии математики и взглядам лидера интуиционистов Л.Э.Я.Брауэра на логику, утверждал, что классическая логика " была абстрагирована из математики конечных множеств и их подмножеств... Забыв о столь ограни­ченном происхождении, кто-то впоследствии ошибоч­но принял логику за нечто, стоящее над математикой и предшествующее всей математике, и...без всякого на то основания применил к математике бесконечных множеств. В этом грехопадении и первородный грех всей теории множеств, за что ее и покарали антино­мии. Удивительно не то, что такие противоречия воз­никли, а то, что они возникли на столь позднем этапе

игры". Позднее В. по этому поводу скажет: " Принцип исключенного третьего может быть верным для Госпо­да Бога, как бы обозревающего единым взглядом бес­конечную последовательность натуральных чисел, но не для человеческой логики", а " логика — это своего рода гигиена, позволяющая математику сохранять свои идеи здоровыми и сильными... Неверно утверждать, что доказательство не играет никакой роли: оно сводит к минимуму риск противоречий". О понятии бесконеч­ного множества В. писал в 1946: " Последовательность чисел, которые возрастая, превосходят любой достиг­нутый ими предел...есть многообразие возможностей, открывающихся перед бесконечностью; она навсегда останется в стадии сотворения, но не переходит в замк­нутый мир вещей, существующих в себе. Источник на­ших трудностей, в том числе и антиномий, более фун­даментален по своей природе, чем указанный принци­пом порочного круга Рассела, и состоит в том, что мы одно слепо превратили в другое. Брауэр...показал, как далеко классическая математика, питаемая верой в аб­солют, превосходящий все человеческие возможности реализации, выходит за рамки утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истинность, основанную на опыте". Математики начала 20 в. трати­ли столько энергии и времени на аксиоматизацию, что в 1935 В., признавая ее ценность, призвал к занятиям более содержательными проблемами, т.к. " аксиомати­ка лишь придает содержательной математике точность и организует ее. Аксиоматика выполняет функцию ка­талогизации или классификации". В. был уверен в том, что математика отражает порядок, существующий в природе: " В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удается пред­сказывать с помощью комбинации наблюдений и мате­матического анализа. Сверх всяких ожиданий,...мечта...о существовании гармонии в природе находит все новые и новые подтверждения в истории физики". При этом В. совершенно не исключал того, что именно меч­та о гармонии Вселенной " вдохнула жизнь в научное мышление", т.к. наука могла бы погибнуть без " транс­цендентальной веры в истинность и реальность и без непрерывного взаимодействия между научными фак­тами и построениями, с одной стороны, и образным мышлением — с другой" (" Философия математики и естественных наук"). Чистая математика в представле­ниях В. обладала " нечеловеческим свойством звездно­го света — сверкающего, яркого, но холодного". Ти­пичному представителю интуиционизма в матема­тике, В. тем не менее была близка концепция сужде­ния о правильности математики по степени приме-

нимости ее к физическому миру: " Насколько убеди­тельнее и ближе к фактам эвристические аргументы и последующие систематические построения в общей теории относительности Эйнштейна или в квантовой механике Гейзенберга—Шредингера. Подлинно реали­стическая математика наряду с физикой должна вос­приниматься как часть теоретического описания еди­ного реального мира и по отношению к гипотетичес­ким обобщениям своих оснований занять такую же трезвую и осторожную позицию, какую занимает фи­зика" (" Философия математики и естественных наук"), причем и теоремы в математике, и утверждения в фи­зике " могут быть формально не обоснованными, но экспериментально проверяемыми гипотезами. Иногда они подлежат пересмотру, но надежным критерием их правильности служит их соответствие реальности". Построения математического ума для В. являлись " од­новременно и свободными и необходимыми. Отдель­ный математик свободен как угодно определять свои понятия и устанавливать свои аксиомы как ему угодно. Но вопрос: заинтересует ли он своих коллег-математи­ков продуктами своего воображения?...некоторые ма­тематические структуры, развившиеся благодаря уси­лиям многих ученых, несут печать необходимости, ко­торая не затрагивается случайностями их историческо­го появления". В ответ на замечания, что интуицио­низм не затрагивает вопросы о применениях математи­ки в естественных науках, никак не связывает " матема­тику с восприятием", В. писал: " Всякому, кто хотел бы по-прежнему верить в истинность математических ут­верждений, в истинность, основанную на опыте, при­дется принять критику, которой подверг основания ма­тематики Брауэр" (" Полвека математики"). Будущее математических наук во все времена их развития нико­му не внушало особых надежд, т.к. их природа никог­да не была понятной полностью. Однако, как писал М.Клайн, математика продолжает бороться с пробле­мами, возникающими в ее основаниях.

C.B. Силков