![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
И предельно допустимой скорости вращения
Условия прочности быстровращающихся деталей заключаются в обеспечении неразрушения конструкции при максимальной рабочей скорости ее вращения. Расчет этих узлов (например, дисков центробежных распылительных мазутных форсунок) является очень ответственным видом расчета. Последнее связано с тем, что аварии такого оборудования могут иметь тяжелые последствия: повреждение экранных поверхностей топки котла и выход котла из строя; опасность для обслуживающего персонала. Расчетная схема быстровращающегося диска представлена на рисунке 7.1.
Рисунок 7.1 – Расчетная схема быстровращающегося диска
Рассмотрим диск толщиной (в), вращающийся с постоянной скоростью (w = const). Выделим на нем бесконечно малый элемент на радиусе r. Пусть требуется определить напряжения (радиальные и тангенциальные) и обеспечить условие механической прочности диска. Имеем дело с двухосным напряженным состоянием и к нему применим закон Гука. То есть относительные удлинения по расчетным осям будут определяться по формулам:
Из уравнения (7.1)радиальные напряжения определяют по формуле:
Подставляя полученное значение (σ r) в уравнение (7.2), получим:
Решая уравнения (7.4) относительно (σ t)и (σ r)будем соответственно иметь:
То есть для определения радиальных и тангенциальных напряжений необходимо знать соответствующие относительные деформации В соответствии с принятой схемой относительные радиальные деформации будут равны:
где А'В' = u+ du– (u– dr); u – величина перемещения.
Рисунок 7.2 – Расчетная схема для определения радиальных и тангенциальных относительных деформаций
Определяем значения относительных деформаций для перемещения (u). С этой целью воспользуемся принципом Д' Аламбера, в соответствие с которым рассмотрим равновесие элементарного объема, приложив к нему в качестве внешней силы соответствующую инерционную нагрузку. Тогда:
Для того чтобы рассмотреть уравнение равновесия спроецируем все силы на биссектрису угла dj. Расчетная схема уравнения равновесия представлена на рисунке 7.3.
Рисунок 7.3 – Расчетная схема уравнения равновесия сил на биссектрису угла dj
Результирующая сила от дифференциала радиальных напряжений в соответствии с расчетной схемой будет равна:
Запишем уравнение равновесия сил:
(7.14)
Для малых углов можно принять, что Тогда, сокращая уравнение (7.14) на
Разделим уравнение (7.15) на (dr) и поменяем знаки:
Подставляя в полученное уравнение выражения (st) и (sr), получим:
Меняя знаки в уравнении (7.19) и выполняя деление на (r), будем иметь:
Левая часть уравнения (7.20) является результатом дифференцирования выражения вида:
Выражение в квадратных скобках в левой части уравнения (7.21), в свою очередь, является результатом дифференцирования произведения вида:
Производя последовательные подстановки левых частей уравнений (7.22) в (7.21), а затем в (7.21) в (7.20), получаем результирующее дифференциальное уравнение быстровращающегося диска вида:
где
Допускаемые напряжения, толщина диска, его наружный диаметр и предельно допустимая скорость вращения определяются на основании результатов общего решения дифференциального уравнения быстровращающегося диска (7.23). Задачу решаем двукратным интегрированием:
Откуда
Относительные радиальные и тангенциальные деформации будут соответственно равны:
Радиальные и тангенциальные напряжения определяем по формулам:
Постоянные интегрирования (С 1) и (С 2) определяют из граничных условий. Рассмотрим эти частные решения дифференциального уравнения вращающегося диска. Эпюры радиальных и тангенциальных напряжений диска показаны на рисунке 7.4.
Рисунок 7.4 – Эпюры радиальных и тангенциальных напряжений диска
1. Константа интегрирования (С 2) принимается равной нулю, исходя из физических представлений и математического анализа уравнения перемещений (7.27). Из этого уравнения следует, что если допустить С 2 ¹ 0, то тогда деформации в центре диска должны достигнуть бесконечности, что по физическим представлениям невозможно. То есть, если r = 0, то 2. На наружной поверхности диска отсутствуют воздействия от соседних слоев в радиальном направлении, поэтому для них
где С 2 = 0 и тогда уравнение (7.32) принимает вид:
Сокращая уравнение (7.33) на первый сомножитель и решая его относительно (С 1), получим:
Подставляя полученное значение константы (С 1) в уравнения для расчета радиальных (7.30) и тангенциальных (7.31) напряжений, будем иметь:
После сокращений и алгебраических преобразований уравнение (7.35) принимает вид:
Принимая для стального диска (m = 0, 3), получим расчетное уравнение инженерного вида:
Анализ полученной формулы показывает, что на наружной поверхности (r = R) напряжения равны 0, а в центре диска, где r = 0, они достигают максимального значения.
После сокращений и алгебраических преобразований уравнение (7.37) принимает вид:
Анализ полученной формулы показывает, что в центре диска тангенциальные напряжения достигают своего максимума и определяются по формуле:
Принимая для сталей коэффициент Пуассона m = 0, 3, получим расчетное уравнение инженерного вида:
3. Величина перемещений определяется из анализа формулы (7.27), в соответствии с которой:
Подставляя в формулу (7.27) значения комплекса (А) (формула 7.24) и константу интегрирования (С 1) (формула 7.34), получим:
После сокращений и алгебраических преобразований получим выражение, имеющее вид:
Анализ полученной формулы показывает, что в центре диска (r = 0) перемещения равны нулю (u = 0). При R = r, будем иметь максимум перемещений:
Принимая для сталей коэффициент Пуассона m = 0, 3, получим окончательное выражение инженерного вида:
|