Булева алгебра. Аксиомы и теоремы булевой алгебры.

Булева алгебра – алгебра, образованная множеством В={0, 1} вместе со всеми возможными логическими операциями на нём.

Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным (с доказательством).

Каждую функцию алгебры логики f(x₁, x₂, …, x_n) для ∀ m ∈ {1, 2, …, n} можно представить в виде , где дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных x₁, …, x_m. Такое представление функции f называется разложением этой функции по m переменным.

Доказательство: Рассмотрим произвольный набор значений переменных (α 1, …, α n), и вычислим f(α 1, …, α n) сначала стандартным образом, а затем как в формулировке доказываемой теоремы: = [по ранее доказанному, если , то ]=, = [так что = 1] = f(α 1, …, α n), что и требовалось доказать.

Следствия:

1) Если m=1, то f(x₁, …, x_n) =

2) m = n. Тогда f(x₁, …, x_n)= , так как остались лишь те наборы, при которых

Получаем из следствия 2 равенство:

f(x₁, …, x_n)=