Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Лекция. Понятие первообразной, приложения первообразнойСтр 1 из 4Следующая ⇒
Понятие первообразной вводится в школе посредством задачи, для решения которой необходимо по известной производной найти (восстановить) саму функцию. Приведём пример такой задачи: «По прямой движется материальная точка, скорость которой в момент времени t задаётся формулой v = gt. Найти закон движения». Используя геометрический смысл производной, для решения задачи следует подобрать функцию, производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что Действительно, Вводим определение: функцию называют первообразной для функции на заданном промежутке Х, если для любого выполняется равенство . Пример 1. , . Пример 2. , , . Контрпример. не является первообразной для функции на промежутке , так как равенство не выполняется при х = 0. Однако на каждом из промежутков и функция является первообразной для функции f. Для усвоения определения школьникам предлагаются задачи, в которых следует доказать, что некоторая функция F является или не является первообразной для функции f на заданном числовом множестве Х, то есть проверить равенство для всех х Î Х. Формулировка таких заданий может начинаться со слов: «угадайте первообразную функцию». Когда у учащихся появляется первый опыт работы с понятием первообразной, они изучают теорему об основном свойстве первообразной. Для её доказательства рассматривается лемма (признак постоянства функции): если в каждой точке некоторого промежутка Х, функция f имеет равную нулю производную, то f – постоянна на этом промежутке. Дано: функция , Х – числовой промежуток. при Доказать: Что ж это за функция, касательная к графику которой в любой точке параллельна оси Ох? Ясно, что её график – прямая, параллельная оси Ох, то есть функция имеет вид Приведём доказательство леммы по учебнику Колмогорова. Доказательство Зафиксируем некоторое значение х 0 из промежутка Х. Тогда для любого по теореме Лагранжа найдётся такое число с, заключённое между х и х 0, что Так как по условию при , то , следовательно, при всех , то есть функция f сохраняет постоянное значение. Приведённая лемма имеет богатые алгебраические приложения. Приведём один скромный пример. Доказать тождество Пусть . Найдём производную функции f. , следовательно, . Определим с. Пусть х = 0. , что и требовалось доказать. Сформулируем основное свойство первообразной. Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке Х может быть записана в виде F (x) + c, где F (x) – одна из первообразных для функции f, а с – произвольная постоянная.
В теореме можно выделить два утверждения: 1) если F (x) – одна из первообразных для функции f, то функция F (x) + c также её первообразная. Доказательство очевидно. Вывод: первообразная функции f определяется неоднозначно. 2) любая первообразная функции f имеет вид F (x) + c. Доказательство (по лемме): . Геометрический смысл: графики любых двух первообразных получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу. Далее совместно с учащимися составляем таблицупервообразных.
В дальнейшем таблица дополняется первообразными показательной и логарифмической функции.
Кроме таблицы первообразных, учащимся сообщаются 3 правила нахождения первообразных.
Все 3 правила легко доказываются по определению первообразной. Особое внимание следует уделить записи в правиле 3. Следует обсудить с учащимися её смысл. Так, 1) если , то ; 2) если , то Согласно правилу 3 в здании (1) первообразная функции f равна , а функции равна , а в здании (2) Первоначально полезно оформлять задания на нахождение первообразной в виде таблицы. Пример. Найти общий вид первообразных для функции
Решение
Применяя правило 1, получаем ответ: F (x) = -21 + + + c.
|