Лекция. Понятие первообразной, приложения первообразной

Понятие первообразной вводится в школе посредством задачи, для решения которой необходимо по известной производной найти (восстановить) саму функцию. Приведём пример такой задачи: «По прямой движется материальная точка, скорость которой в момент времени t задаётся формулой v = gt. Найти закон движения». Используя геометрический смысл производной, для решения задачи следует подобрать функцию, производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что Действительно,

Вводим определение: функцию называют первообразной для функции на заданном промежутке Х, если для любого выполняется равенство .

Пример 1. , .

Пример 2. , , .

Контрпример. не является первообразной для функции на промежутке , так как равенство не выполняется при х = 0. Однако на каждом из промежутков и функция является первообразной для функции f.

Для усвоения определения школьникам предлагаются задачи, в которых следует доказать, что некоторая функция F является или не является первообразной для функции f на заданном числовом множестве Х, то есть проверить равенство для всех х Î Х. Формулировка таких заданий может начинаться со слов: «угадайте первообразную функцию».

Когда у учащихся появляется первый опыт работы с понятием первообразной, они изучают теорему об основном свойстве первообразной. Для её доказательства рассматривается лемма (признак постоянства функции): если в каждой точке некоторого промежутка Х, функция f имеет равную нулю производную, то f – постоянна на этом промежутке.

Дано: функция , Х – числовой промежуток.

при

Доказать:

Что ж это за функция, касательная к графику которой в любой точке параллельна оси Ох? Ясно, что её график – прямая, параллельная оси Ох, то есть функция имеет вид

Приведём доказательство леммы по учебнику Колмогорова.

Доказательство

Зафиксируем некоторое значение х ₀ из промежутка Х. Тогда для любого по теореме Лагранжа найдётся такое число с, заключённое между х и х ₀, что Так как по условию при , то , следовательно, при всех , то есть функция f сохраняет постоянное значение.

Приведённая лемма имеет богатые алгебраические приложения. Приведём один скромный пример.

Доказать тождество

Пусть . Найдём производную функции f.

, следовательно, . Определим с. Пусть х = 0. , что и требовалось доказать.

Сформулируем основное свойство первообразной.

Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке Х может быть записана в виде F (x) + c, где F (x) – одна из первообразных для функции f, а с – произвольная постоянная.

В теореме можно выделить два утверждения:

1) если F (x) – одна из первообразных для функции f, то функция F (x) + c также её первообразная.

Доказательство очевидно. Вывод: первообразная функции f определяется неоднозначно.

2) любая первообразная функции f имеет вид F (x) + c.

Доказательство

(по лемме):

.

Геометрический смысл: графики любых двух первообразных получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу.

Далее совместно с учащимися составляем таблицупервообразных.

Функция у = f (x)			хп, пÎ Z, п ¹ -1		sinx	cosx
Первообразная у = F (x)	C	x+c	+ c	+c	- cosx+c	sinx+c	tg x+c	ctg x+c

В дальнейшем таблица дополняется первообразными показательной и логарифмической функции.

Кроме таблицы первообразных, учащимся сообщаются 3 правила нахождения первообразных.

Правило1.Если F есть первообразная для f, а G - первообразная для g, то F + G есть первообразная для f + g. Правило2.Если F есть первообразная для f, а k -постоянная, то kF – первообразная для kf. Правило3.Если F есть первообразная для f, а k и b -постоянные, причём k¹ 0, то – первообразная для

Все 3 правила легко доказываются по определению первообразной. Особое внимание следует уделить записи в правиле 3. Следует обсудить с учащимися её смысл. Так, 1) если , то ; 2) если , то Согласно правилу 3 в здании (1) первообразная функции f равна , а функции равна , а в здании (2)

Первоначально полезно оформлять задания на нахождение первообразной в виде таблицы.

Пример. Найти общий вид первообразных для функции

Решение

		Обоснование
7 7	-7   -7× 3 = -21	Таблица Правило 2     Правило 3
	=	Таблица     Правило 2     Правило 3
	5× =	Таблица     Правило 2     Правило 3

Применяя правило 1, получаем ответ: F (x) = -21 + + + c.