Приложения первообразной

Понятие криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [ а, в ] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нём знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [ а, в ] и прямыми х = а и х = в называют криволинейной трапецией.

Приведём различные примеры криволинейных трапеций.

Полезно показать контрпримеры.

Теорема о площади криволинейной трапеции.

Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [ а, в ] функция, а F – её первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [ а, в ], то есть S=F (a) - F (b).

Дано: функция f – непрерывна при ,

при ,

F (x) – первообразная f на .

S – площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Доказать: S=F(b) - F(a).

Доказательство

1. Зададим на отрезке [а, в] функцию S (x):

если , то S (х) – площадь той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку М (х; 0);

если х = а, то S(a)=0.

2. Докажем, что S (x) – первообразная функции у = f (x) на [ а, в ], то есть

Напомним, что производная – это предел разностных отношений .

Выясним геометрический смысл числителя D S (x).

Пусть D х > 0, D S (x)= S (x +D x) - S (x).

Графически

Подменим криволинейную трапецию DS(x) равновеликим прямоугольником

со стороной х + D х.

DS(x)=f(c)·D x. :

Найдем

При . Поэтому

3. S(x) =F(x) + c.

При х = а S(a) = 0. c = - F(a). S = S(b), то есть S = F (b) - F (a).