метод контурных токов

Пример

R1 = R3 = 10 Ом; R2 = R4 = 20 Ом; R5 = 30 Ом; J = 1 A; E = 10 В.

Решение.

1. Схема цепи содержит

n₁₁ = p – g– N_ит + 1 = 3 независимых контура и один дополнительный зависимый (см. рис. 3.5).

2. Пользуясь методикой формирования системы уравнений по схеме цепи, изложенной в примере 3.1, запишем уравнения для трех контуров в матричной форме

.

3. После подстановки численных значений параметров и решения уравнений, получим значения контурных токов

I₁₁ = 0.163 А, I₂₂ = – 0.465 А, I₃₃ = – 0.023 А.

4. Определим токи в ветвях:

i₁ = I₁₁ = 0.163 А; i₂ = I₁₁ – I₂₂ = 0.628 А; i₃ = I₂₂ – J = 0.535 А;

i₄ = I₃₃ – I₂₂ = 0.442 А; i₅ = I₁₁ – I₃₃ = 0.186 А; i₆ = I₃₃ = – 0.023 А.

5. Проверим правильность решения задачи, используя закон Кирхгофа для второго узла: –i₂ + i₄ + i₅ = 0, – 0.628 + 0.442 + 0.186 = 0. Задача решена правильно.

Определение токов в этой задаче потребовало решения системы из трех уравнений. Этот же пример рассматривался при изучении метода токов ветвей, по которому пришлось решать систему из шести уравнений, а ее решать сложнее. Этот пример показывает преимущество метода контурных токов перед методом токов ветвей.

№ 60

Пример 5.2. Получить формулу коэффициента передачи по напряжению цепи, в которой используется типовая схема включения ОУ (рис. 5.3 а).

Решение. 1. Подключим к входу цепи идеальный источник тока J. Пронумеруем узлы. Как рекомендовалось ранее, не будем заменять изображение ОУ схемой замещения. Выполнение этого пункта показано на рис. 5.3 б.

2. Запишем основное уравнение ОУ для схемы на рис. 5.3 б

U₃₃ = –k·U₁₁ или k·U₁₁ + U₃₃ = 0. (5.5)

3. Составим систему уравнений в матричной форме для цепи на рис. 5.3 б (5.6). При этом нужно помнить, что выходная цепь ОУ представлена идеальным источником напряжения, подключенным к третьему узлу. Для этого узла уравнение по первому закону Кирхгофа не составляют, а используют уравнение ОУ (5.5)

. (5.6)

4. Из уравнения (5.5) видно, что при k = ∞ U₂₂ = 0. Поэтому в матрице проводимостей нужно вычеркнуть второй столбец и третью строку. Вычеркнуть переменную U₂₂ и третью строку в матрице токов. После проведенных преобразований получиться система уравнений в следующем виде:

. (5.7)

Коэффициент передачи по напряжению цепи равен

. (5.8)

Решая систему уравнений (5.7) и подставляя узловые напряжения в (5.8), получим

№ 60

. (5.9)

Данная схема цепи с ОУ является типовой. Она обладает важным свойством:

при k = ∞ коэффициент передачи цепи определяется соотношением между сопротивлениями Z₁ и Z₂ двухполюсников, включенных с ОУ, и не зависит от схемы ОУ.

Знак минус показывает, что входной сигнал в схеме меняет фазу на 180⁰