Динаміка матеріальної точки змінної маси. Рівняння Мещерського. Формула ціолковського

Як приклади рухів тіл із змінною масою можна назвати рух автоцистерни, коли з неї поли­вається вулиця, рух аеростата, коли з нього викидають баласт, рухи ракет, реактивних літаків і реактивних снарядів,

Знайдемо основне рівняння динаміки поступального руху тіла змінної маси. Виходимо з другого закону Ньютона, згідно з яким усяка зміна імпульсу системи є результатом дії зовнішньої сили

Для конкретності під рухом тіла змінної маси розумітимемо найпростіший рух ракети. під ракетою уявлятимемо матеріальну точку змінної маси.

Нехай у момент часу t маса ракети була m, а її швидкість відносно нерухомої системи координат v; нехай за час dt з ракети вилітають продукти згорання масою dm з швидкістю w

В результаті за час dt маса ракети буде m-dm, а її швидкість v+dv.

Застосуємо до ракети рівність (1). Зважаючи, що в момент часу імпульс ракети дорівнював mv а в момент (t+ dt) буде (m- dm) • (v + dv) + dm • w, дістанемо

Якщо у виразі (2) перемножити члени в дужках і знехтувати членом другого порядку мализни dm • dv то матимемо

Якщо останню рівність поділити на dt, врахувати, що для ракети —dm/dt < 0, оскільки в польоті маса її зменшується, та перегрупувати члени, то дістанемо таке рівняння:

Це рівняння називають рівнянням Мещерського, воно є основним рівнянням динаміки поступального руху тіла змінної маси. У його правій частині F— рівнодійна зовнішніх сил, що діють на ракету (сили тяжіння і опору середовища), а другий член виражає реактивну силу, що діє на ракету з боку газів, які вилітають. Отже, за рівнянням Мещерського добуток маси ракети на її прискорення в будь-який момент часу дорівнює векторній сумі рівнодійної зовнішніх сил і реактивної сили, що діють на ракету; w - v= u— швидкість вилі­тання газів відносно ракети. Увівши нове позначення цієї швидкості в рівняння, дістанемо Легко побачити, що при dm/dt = О рівняння (5) переходить у другого закону Ньютона для випадку сталої маси.