Вопрос 4. Разность множеств. Дополнение к подмножеству.

Чтобы объяснить учащемуся, что 5 — 3 = 2, часто используют такой прием. Берут 5 предметов, например 5 кружков. После того как учащиеся убедятся при помощи счета, что кружков действи­тельно 5, им предлагают 3 кружка убрать и сосчитать, сколько кружков осталось. Осталось 2, значит, 5 — 3 = 2.

В чем суть приема? Из данного множества, в котором а элементов, удаляют подмножество, содержащее b элементов. Тогда в остав­шейся части множества а — b элементов.

При помощи кругов Эйлера данная ситуация представляется на рисунке 37, где заштрихована та часть, которая осталась после удаления из множества А подмножества В. Эту часть называют дополнением множества В до множества А.

Определение. Пусть B А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

Дополнение множества В до множества А (при условии, что В с: А) обозначают А\В.

Операция, при помощи которой находят допол­нение подмножества, называется вычитанием.

Как находят дополнение подмножества в кон­кретных случаях? Прежде чем рассмотреть приме­ры, заметим, что согласно определению дополнения

Если элементы множества А и В перечис­лены, то, чтобы найти А\В, достаточно перечислить элементы, принадлежащие А и не принадлежащие В. Так, если А = { 2, 3, 5}, а В = {1, 5}, то А\В = {2, 3}.

В том случае, когда указаны характе­ристические свойства элементов множеств А и В (В А), характеристическое свойство множества А\В имеет вид «х ЄА и х Є В». Найдем например, дополнение множества В до множества А при условии, что А — это множество четных чисел, В — множество чи­сел, кратных 4, и определим, содержатся ли в этом дополнении числа 20 и 26.

Так как все числа, кратные 4, четные, то BA. Если из мно­жества А удалить все числа, кратные 4, то в нем останутся четные числа, не кратные 4. Значит, А\В — множество четных чисел, не кратных 4. Характеристическое свойство элементов этого множе­ства — «быть четным числом и не кратным 4».

Нетрудно видеть, что 20 Є А\В, поскольку 20 — четное число и кратно 4, а 26 ЄА\В, так как 26 — четное число и не кратно 4.

Выясним теперь, из каких чисел состоит множество А\В С, если А — множество четных чисел, В — множество чисел, кратных

4, С — множество чисел, кратных 6.

В записи множества А\В С нет скобок. Возникает вопрос: какое действие выполнять первым? Условились считать, что опе­рация пересечения множеств является более «сильной», чем вычитание. Поэтому порядок выполнения действий над множест­вами в записи А\В С следующий: сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А.

Пересечение множеств В и С состоит из чисел, кратных 4 и 6. Если удалить это пересечение из множества А, то в нем останут­ся четные числа, не кратные 4 и 6 (одновременно). При помощи кругов Эйлера данные множества А, В и С можно изобразить так, как на рисунке 38. Дополнение пересечения множеств В и С до множества А на нем изображено штриховкой.

рисунок 37. рисунок 38.