падающей вблизи поверхности Земли

Рассмотрим МТ, массы m, падающую без начальной скорости на поверхность Земли с малой (по сравнению с радиусом Земли) высоты h, так что – ускорение свободного падения за время падения можно считать постоянным (рис. 20). Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Рис. 20

Начало подвижной системы координат, неизменно связанной с вращающимся земным шаром, возьмем на поверхности Земли в точке О с географической широтой j, ось Ох направим на юг по касательной к меридиану, ось Оу – на восток по касательной к параллели, а ось Оz – по вертикали.

Соотношение (2.3) с учетом (2.5) и формулы для примет вид:

,

или

.

Перепишем последнее соотношение, представив векторное произведение в виде определителя и учтя, что - единичные орты подвижной системы координат, составляет угол 90⁰–j с осью Оz, а – координаты относительной скорости :

. (2.6)

Спроектировав соотношение (2.6) на подвижные оси координат Оxyz, получим дифференциальные уравнения свободно падающей МТ с учетом неинерциальности системы отсчета:

(2.7)

Предполагаем, что МТ начинает падать без начальной скорости с высоты h, т.е.

при

(2.8)

Интегрируя уравнение (2.7) с учетом начальных условий (2.8), получим:

(2.9)

Интегрирование системы дифференциальных уравнений (2.9) проведем методом последовательных приближений.

Если пренебречь ускорением Кориолиса, уравнения (2.9) примут вид:

(2.10)

Решением системы дифференциальных уравнений (2.10) при начальных значениях (2.8) будет:

.

Приняв это решение за первое приближение и подставив его в (2.9), получим дифференциальные уравнения второго приближения:

(2.11)

Интегрируя систему дифференциальных уравнений (2.11) с начальными условиями (2.8), получим уравнения движения МТ с учетом вращения Земли, в которых появляется отклонение к востоку (в сторону положительного направления оси у):

(2.12)

Исключив из уравнений (2.12) время t, найдем уравнение траектории МТ:

. (2.13)

Траекторией движения МТ для рассматриваемого второго приближения будет полукубическая парабола (рис. 21).

Рис. 21

Отклонение МТ в момент ее падения на поверхность Земли – Dy найдем, если в уравнении (2.13) положим z=0:

.

Если найти третье приближение, то одновременно с отклонением к востоку появится отклонение к югу, но это отклонение будет очень мало, так как в выражение для x войдет очень малая величина порядка w².