Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Пусть в пространстве заданы плоскость и прямая ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Пусть в пространстве заданы плоскость и прямая . Они могут быть 1) параллельны; 2) прямая может лежать в плоскости; 3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке. Выясним, как зная уравнения плоскости и прямой, определить их взаимное расположение. Пусть : и : . Тогда – нормальный вектор плоскости, – направляющий вектор прямой. Если плоскость и прямая параллельны или прямая целиком лежит в плоскости , то векторы и – перпендикулярны. Следовательно , (10) или в координатной форме . (11) Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то геометрически это означает, что прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости. В этом случае и будут параллельны, что аналитически означает справедливость равенства . Теперь укажем условие, которое позволит различать случай параллельности прямой и плоскости и случай, когда прямая принадлежит плоскости. Пусть прямая лежит в плоскости . Тогда любая точка прямой лежит в плоскости и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В частности, , где – некоторая фиксированная точка прямой . Если же прямая параллельна плоскости, то она не имеет общих точек с плоскостью и, следовательно, для такой прямой . Таким образом, если прямая лежит в плоскости, то должны выполняться два условия: и ; если же прямая параллельна плоскости, то , но , где – некоторая фиксированная точка прямой . В заключение этого пункта вернемся к случаю, когда прямая и плоскость пересекаются в одной точке, и получим формулу для нахождения угла между прямой и плоскостью. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость . Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью не превышает , т.е. угол острый. Пусть – угол между прямой и плоскостью , – их точка пересечения. Через перпендикулярно плоскости проведем прямую . Для вектор является направляющим и, следовательно, острый угол между прямыми и может быть найден по формуле . Но , – формула для определения угла между прямой и плоскостью .
|