Постановка задачи

Пусть и радиус-векторы двух тел, а и их массы. Наша цель определить траектории и для любого времени t, при заданных начальных координатах и скоростях

, ,

, .

Второй закон Ньютона применительно к данной системе утверждает, что

где

— сила действующая на первое тело из-за взаимодействием со вторым телом, и

— сила действующая на второе тело со стороны первого.

Складывая и вычитая эти два уравнения, можно разделить одну задачу на две задачи с одним телом, которые могут быть решены независимо. " Сложение" уравнений (1) и (2) приводит к уравнению, описывающему движение центра масс. В отличие от этого, " вычитание" уравнения (2) из уравнения (1) приводит к уравнению, которое описывает, как вектор между массами изменяется со временем. Решение этих независимых задач может помочь в нахождении траекторий и .

Движение центра масс (первая задача)

Сложение уравнений (1) и (2) приводит к равенству

где мы использовали третий закон Ньютона и где

позиция центра масс системы. уравнение в итоге запишется в виде

Оно показывает, что скорость центра масс постоянна. Отсюда следует, что полный момент количества движения также сохраняется (сохранение импульса). Позиция и скорость центра масс может быть получена в любой момент времени.

Движения вектора смещения (вторая задача)

Вычитая уравнение (2) из уравнения (1) и преобразуя приходим к уравнению

где мы снова использовали третий закон Ньютона и где (определённый выше) - вектор смещения, направленный от второго тела к первому.

Сила между двумя телами должна быть функцией только а не абсолютных положений и ; в противном случае задача не имеет трансляционной симметрии, то есть законы физики менялись бы от точки к точке. Таким образом можно записать:

где μ - приведённая масса

Как только мы найдём решение для и , первоначальные траектории можно записать в виде

как может быть показано подстановкой в уравнения для и .