![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Задача двух тел в ОТО
Нормальная орбита любого тела, захваченного притяжением другого тела, представляет собой эллипс или окружность – именно такие орбиты мы наблюдаем в Солнечной системе. Однако общая теория относительности утверждает, что в окрестностях крайне массивных тел — там, где пространство оказывается сильно искривлено благодаря наличию колоссального гравитационного поля — спектр возможных стабильных орбит значительно расширяется. В подобных условиях физические объекты начинают вести себя весьма странно. Например, тело может подлететь к черной дыре по крутой параболе, сделать вокруг нее несколько стремительных коротких витков, а затем снова заложить вытянутую петлю – и так далее. Пример Любая классическая система состоящая из двух частиц, по определению задача двух тел. Во многих случаях, однако, одно тело много тяжелее другого, как например в системе Земля и Солнце. В таких случаях более тяжёлая частица играет роль центра масс и задача сводится к задаче о движения одного тела в потенциале другого.[1]
Зако́ ны Ке́ плера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом mp / mS → 0, где mp, mS — массы планеты и Солнца. Первый закон Кеплера (закон эллипсов) Первый закон Кеплера. Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Комментарий: Первый закон Кеплера немедленно противоречит классическому закону сохранения импульса, как только слово «находится» оказывается тождественным слову «покоится». Классическая динамика Ньютона чрезвычайно чувствительна к выбору системы отсчёта, а именно к свойству инерциальная/неинерциальная. В той мере, в которой законы Кеплера претендуют на общность, система отсчёта подразумевается общей — гелиоцентрической. Следовательно, кеплеровское Солнце «покоится» в фокусе каждой эллиптической орбиты (тем самым Кеплер подразумевает разложение Солнечной системы в прямую сумму независимых орбит). Однако суммарный импульс системы p 1+ p 2, в которой «тяготеющее» тело покоится p 2= 0, равен импульсу единственно подвижного тела p 1. Если последнее изменяется, суммарный импульс — вектор непостоянный. Нижеследующее «доказательство» подразумевает, что центр масс системы «Солнце — планета» совпадает с центром Солнца (на самом же деле для Меркурия несовпадение составляет порядка 10-7, для Юпитера — 10-3). Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во вселенной притягивает каждый другой объект по линии соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму Вспомним, что в полярных координатах В координатной форме запишем Подставляя которое упрощается После интегрирования запишем выражение для некоторой константы Уравнение движения в направлении Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как где G — универсальная гравитационная константа и M — масса звезды. В результате Это дифференциальное уравнение имеет общее решение: для произвольных констант интегрирования e и θ 0. Заменяя u на 1/ r и полагая θ 0 = 0, получим: Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона. Второй закон Кеплера (закон площадей) Второй закон Кеплера. Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает сектора равной площади. Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии. Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу. По определению угловой момент
где По определению
В результате мы имеем
Продифференцируем обе части уравнения по времени поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что Третий закон Кеплера (гармонический закон) Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды. Механическая работа Работа силы F за время Δ t процесса γ (t)) — это физическая величина, являющаяся количественной характеристикой действия силы F на процесс γ (t), зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки ее приложения
|