III. Полное исследование функции.

Приведенные выше теоретические сведения по определению интервалов монотонность функции, ее экстремумов, интервалов выпуклости и вогнутости графика функции, его точек перегиба и асимптот позволяют провести полное исследование функции и построить ее график, дающий представление о характерных свойствах и особенностях исследуемой функции. Полное исследование функции проводится по следующему примерному плану:

1. Находится область допустимых значений (ОДЗ) функции.

2. Выясняется, является ли функция четной, нечетной, периодической или общего вида.

3. Определяются точки пересечения с осями координат графика функции, находятся ее нули и точки разрыва.

4. Находятся интервалы знакопостоянства функции.

5. Находятся критические точки, интервалы возрастания, убывания и точки экстремума, а так же характер экстремума в каждой точке.

6. Находятся вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

7. Определяются интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.

8. Для большей точности графика иногда строятся и отдельные точки графика.

9. Строится график функции.

Ниже приводятся примеры полного исследования и построения графиков различных видов функций. По ходу исследования приводятся при необходимости соответствующие пояснения.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1. Функция определена всюду, кроме точек

и , поэтому ее ОДЗ включает интервалы

2. Функция нечетная, так как , следовательно, график функции симметричен относительно начала координат. Функция не периодическая.

3. Точки пересечения графика функции с осями координат: с осью при ; с осью при , т.е. кривая проходит через начало координат.

4. Для определения интервалов знакопостоянства построим кривую знаков (рис.6)

Рис.6

Из рис. 6 следует, что данная функция:

положительна в интервалах и

отрицательна в интервалах

5. Для нахождения критических точек вычислим производную :

Производная равна нулю в точках и и не существует в точках , . Так как точки и не входят в ОДЗ функции, то критическими точками не являются. " Подозрительными" на экстремум являются точки и . С помощью первого достаточного признака экстремума (теорема 3.) определим существование и характер экстремумов в этих точках, вычисляя знак в малой окрестности точек и

а) для

В силу теоремы 3, в точке функция имеет максимум.

б) Для

так как производная меняет знак с " - " на " +" при переходе через точку , то в этой точке функция имеет минимум:

Кривая знаков производной имеет вид (см. рис. 7):

Рис.7.

Из рис. Следует, что функция возрастает на интервалах и убывает на интервалах

6. Асимптоты.

а) Очевидно, что при и , поэтому и вертикальные асимптоты.

б) ,

. - наклонная асимптота.

7. Для нахождения интервалов выпуклости вогнутости вычислим и рассмотрим кривую знаков (см. рис. 8)

рис. 8.

Вторая производная равна нулю при и не существует при и (точки не входят в ОДЗ).

Так как при кривая выпукла, а при - выгнута, то график функции выпуклый на интервалах и выгнутый на интервалах , что отмечено знаками и в таблице, которую удобно использовать при построении графика, в этой таблице знаками и отмечено возрастание, и убывание функции

	-	-	+	-	+	+