![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Определение экстремума функции методом скорейшего спуска
Теоретические положения Рассмотренные в предыдущих лабораторных работах задачи относятся к задачам линейного программирования. Однако в реальных экономических моделях такие показатели, как прибыль, себестоимость, капитальные затраты на производство и др., в действительности нелинейно зависят от объема производства, расхода ресурсов и т.п. В этом случае возникает задача нелинейного программирования. Допустим, что среди ограничений нет неравенств, не обязательны условия неотрицательности, переменные не являются дискретными, m < n, а функции непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка. В этом случае задачу оптимизации можно сформулировать так: найти переменные x
и обращающие в максимум (минимум) целевую функцию z = f(x Функция z может иметь произвольный нелинейный вид. Для решения сформулированной задачи могут быть использованы классические методы оптимизации. Для этого следует четко представлять различие между локальным экстремумом функции, глобальным экстремумом и условным экстремумом. Будем полагать, что функция z = f(x Необходимое условие экстремума. Если в точке X f Для получения достаточных условий следует определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка d Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Найдем значения частных производных второго порядка в стационарной точке X a Составим определитель из a
Достаточные условия экстремума имеют вид: a) если б) если в) если Приведенная схема позволяет определить локальный экстремум функции двух переменных. Функция z = f(x Если область D замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция z = f(X) достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области (теорема Вейерштрасса). Условный экстремум. Пусть необходимо найти экстремум функции z = f(x
Эти уравнения называются уравнениями связей. Говорят, что в точке X Градиентом
В каждой точке Х направление градиента является направлением наибольшего возрастания функции, а модуль градиента равен наибольшей скорости возрастания функции в этой точке. Функция F(X) = F(x F( для любых точек X Для определения выпуклости конкретной конкретной функции, часто используют критерий Сильвестра. Функция является выпуклой тогда и только тогда, когда неотрицательны все главные миноры
Задача выпуклого программирования состоит в отыскании такого решения системы ограничений, при котором выпуклая целевая функция достигает минимального значения, или вогнутая функция достигает максимального значения. Решение задач выпуклого программирования методом скорейшего спуска. Схема решения задач методами спуска состоит в построении последовательности X решений системы ограничений задачи по следующему принципу: в качестве X X где l = (l X X Если величина
Произведение в этом выражении означает скалярное произведение векторов градиентов в соседних точках. Пример Найти методом скорейшего спуска с точностью до 0, 01 экстремум функции Z = 2x
|