Записать свойства смешанного произведения

Свойства смешанного произведения векторов

• Геометрический смысл смешанного произведения.

Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:

V_парал = |a · [b × c]|

• Геометрический смысл смешанного произведения.

Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:

• Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.
• a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)
• a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]
• a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тождество Якоби.

Аналитическая геометрия

1. Доказать теоремы об общем уравнении прямой на плоскости

2. Провести исследование общего уравнения прямой на плоскости

3. Вывести уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом и уравнение прямой в отрезках на осях

4. Вывести каноническое уравнение прямой на плоскости, записать параметрические уравнения, вывести уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

5. Как определяют угол между прямыми на плоскости, если они заданы каноническими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом?

6. Вывести условия параллельности, совпадения и перпендикулярности прямых на плоскости

7. Получить формулу для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

8. Доказать теоремы об общем уравнении плоскости

9. Сформулировать и доказать теорему о взаимном расположении пары плоскостей

10. Провести исследование общего уравнения плоскости

11. Получить уравнение плоскости в отрезках и уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки

12. Получить формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости

13. Как вычисляется угол между плоскостями?

14. Вывести условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

15. Записать общий вид уравнений прямой в пространстве, получить канонический вид уравнений прямой в пространстве

16. Вывести параметрические уравнения прямой в пространстве, а также прямой, проходящей через две точки пространства.

17. Как определятся угол между двумя прямыми в пространстве? Записать условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве

18. Как определяется угол между прямой и плоскостью? Записать условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости

19. Получить условие принадлежности двух прямых одной плоскости