Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Кольцевые вихри
Если обычному воздушному шарику в резиновой оболочке сообщить скорость 5—10 м/сек, то он проходит расстояние 1, 5 2 м. С другой стороны, давно известно, что если с той же скоростью кинуть (например, вытолкнуть поршнем из трубки) такую же массу воздуха без оболочки, то она пройдет расстояние, в 10—15 раз большее. Опыт показывает, что во втором случае движение происходит так, как показано на рис.121, где изображены линии тока для движения относительно системы координат, движущейся вместе с вытолкнутой массой воздуха. Движение обладает осевой симметрией; внутри выпуклой области, образованной вращением участка АВС линии тока, оно вихревое, а вне этой области – практически потенциальное. На АВС скорости внутреннего и внешнего движений совпадают, так что поле скоростей оказывается непрерывным. Это и объясняет эффект, с которого мы начали, – из-за непрерывности трение на границе, движущейся без оболочки массы меньше, чем массы в оболочке, следовательно, меньше сопротивление и больше проходимое массой расстояние. Аналогичное движение можно наблюдать и в воде. Оно известно уже давно и называется кольцевым вихрем. В конце прошлого века такая схема движения привлекала внимание в связи с попытками создания вихревой модели атомов (У. Томсон-Кельвин, Дж. Дж. Томсон). Эти попытки успеха не имели, но они послужили поводом для интересных исследований, с которыми можно ознакомиться по книге Ламба [4]. Интерес к проблеме сильно возрос после появления атомных бомб, при взрыве которых образуется характерное грибовидное облако, структура которого аналогична структуре кольцевого вихря, изображенного на фото рис. 122. Такое облако с большой скоростью поднимается на высоту нескольких километров. Аналогичное явление наблюдается и при взрыве больших зарядов обычных ВВ. В последнее время исследуются возможности практического применения кольцевых вихрей для удаления дыма, вредных газов и т. п. на промышленных предприятиях. В связи с этим возникает много вопросов, ответы на которые нельзя получить без учета вязкости, диссипации энергии, турбулентного характера движения и т. д. Однако прежде чем переходить к описанию математической модели, учитывающей эти факторы, мы должны напомнить некоторые результаты, полученные в схеме идеальной несжимаемой жидкости. Вихри в идеальной жидкости. Если пренебречь вязкостью и рассматривать осесимметричные движения несжимаемой жидкости, стационарные в системе координат, движущейся вместе с вихрем, то уравнения, связывающие функцию тока и завихренность в цилиндрических координатах (r, ɑ, z), имеют вид
(см. гл. I). Из (1) следует, что отношение постоянно вдоль линии тока, т. е. что
где F – произвольная функция. Так как движение на бесконечности должно быть потенциальным, то F должна тождественно обращаться в нуль вне некоторой области, ограниченной замкнутой линией тока, а на этой линии составляющие скорости должны быть непрерывными. При заданной F возникает типичная задача о склейке потенциального и вихревого течения, аналогичная тем, кторые мы рассматривали в гл. V. В такой форме эта задача не исследована даже для простейших функций F, известны только отдельные примеры точных и приближенных решений. Пример точногo решения дает сферический вихрь Хилла. Здесь завихренность распределена внутри шара радиуса по закону где b –постоянная; вне шара поток – потенциальный и жидкость, содержащаяся в этом шаре, движется вместе с вихрем со скоростью
(4) относительно неподвижной системы координат (см. Л а м б [4], стр. 309—310). Вихри такого типа в опытах не наблюдаются. Большее сходство с наблюдениями имеет приближенное решение, полученное еще Максвеллом, где завихренная область представляет собой тор, радиус а поперечного сечения которого много меньше радиуса R самого тора. Тороидальный вихрь Максвелла движется со скоростью а форма объема, заключенного внутри замкнутой поверхности тока и движущегося вместе с вихрем, зависит от отношения (см. Лам б [4], стр. 299—305). На рис. 123 изображены линии тока при различных ; область, движущаяся вместе с вихрем, на этом рисунке заштрихована, а область завихренной жидкости зачернена. При < 86 форма области, движущейся с вихрем, мало отличается от наблюдаемой. При > 86 эта область, как и область завихренности, имеет тороидальную форму; в опытах этот случай не наблюдается, что, по-видимому, можно объяснить его неустойчивостью (строгого исследования здесь еще нет). В плоском варианте задачи о кольцевом вихре завихренность должна быть постоянной на линиях тока, т. е. . При постоянной F эта задача совпадает с задачей о склейке потенциального и вихревого движения, рассмотренной в гл. V. Точное решение имеется для случая , где b – постоянная (Л а м б [4], стр. 308—309), но он далек от практики. Итак, в схеме идеальной жидкости возможны различные модели кольцевых вихрей — эта схема не дает никаких условий для определения вида функции F и формы области, в которой завихренность отлична от нуля. Поэтому ясно, что решения, полученные в рамках невязкой несжимаемой жидкости, не позволяют определить изменение скорости и размеров вихрей, наблюдаемых в экспериментах. Влияние вязкости. Вязкость жидкости приводит к диссипации энергии, поэтому движение вихря в отсутствии внешних сил становится нестационарным. Можно было бы ожидать, что закон движения и распределение завихренности в кольцевом вихре определяются начальными и краевыми условиями и, следовательно, существенно зависят от способа образования вихря. Однако опыт показывает, что дело обстоит не совсем так. Классический способ образования вихря состоит в следующем: в верхней крышке коробки с эластичным дном делается отверстие, диаметр которого существенно меньше, чем размеры коробки. К отверстию могут прикрепляться насадки в виде сопел различной формы. Коробка наполняется дымом, после чего по дну производится удар. При малых числах Рейнольдса, определяемых радиусом и скоростью вихря, образуется ламинарный вихрь с четко выраженной спиральной структурой, хорошо видимой на фотографиях1) (рис. 124, а).
В этом случае распределение завихренности действительно определяется начальным полем скоростей, формой насадки, зависит от того, плавный или резкий был удар, и т. д. Это движение в принципе может быть описано с помощью уравнений Навье — Стокса, но решение соответствующей нестационарной задачи, даже с применением вычислительных машин, связано с огромными трудностями. С другой стороны, начиная с Rе ~ 103, характер движения резко меняется, оно становится турбулентным (рис. 124, 6). В этом случае, как показывает опыт, структура кольцевого вихря не зависит (или, по крайней мере, зависит очень слабо) от деталей начальных и краевых условий. После того, как вихрь проходит расстояние порядка нескольких радиусов отверстия, вырабатывается некоторое распределение завихренности, вообще не зависящее от способа образования вихря. Усредненное движение в турбулентном вихре определяется только размером и скоростью вихря. При дальнейшем движении, как показывает эксперимент, размеры вихря линейно увеличиваются с пройденным расстоянием, причем форма вихря преобразуется подобно. Турбулентная вязкость. Турбулентное движение вязкой жидкости, как известно, не описывается замкнутой системой уравнений – в каждом конкретном случае для получения такой системы приходится выдвигать дополнительные гипотезы, т. е. рассматривать какую-либо модель движения. В безграничном пространстве турбулентно движущуюся жидкость можно описывать как жидкость, обладающую некоторой, как говорят, турбулентной вязкостью , отличной от истинной кинематической вязкости. Такое феноменологическое описание свободной турбулентности (в отсутствии границ) дает хорошие результаты в теории турбулентных струй и в некоторых других случаях. Турбулентный характер движения жидкости в кольцевом вихре можно описать введением коэффициента турбулентной вязкости . Предположим, что этот коэффициент есть некоторая функция времени, не зависит от пространственных координат и определяется характерными масштабами движения (размером и скоростью вихря). Более того, предположим, что где U и R — скорость и радиус вихря 1), а коэффициент 𝞴 постоянная, величина которой должна определяться сравнением результатов расчета с экспериментом. Опыт показывает, что на значительном участке движения вихря турбулентная вязкость во много раз больше кинематической, и последней можно пренебречь Окончательно получаем следующее: усредненное движение турбулентного вихря описывается уравнениями Гельмгольца (гл. I), в которые вместо кинематической вязкости входит турбулентная вязкость . Уравнения Гельмгольца. Будем рассматривать в вязкой жидкости одновременно осесимметричные кольцевые вихри и соответствующий плоский аналог. В силу сделанных предположений система уравнений, описывающая такие движения, имеет вид: Уравнения (7) называются уравнениями Гельмгольца, при k =1 они описывают осесимметричное движение, а при k = 0 — плоское ( – соответствующая компонента вектора завихренности, функция тока). Предположение о коэффициенте турбулентной вязкости заведомо неверно на больших расстояниях от кольцевого вихря, так как там этот коэффициент должен обращаться в нуль. Однако из уравнений Гельмгольца (7) видно, что члены с вязкостью существенны только там, где завихренность заметно отличается от нуля. Поскольку в кольцевом вихре завихренность очень быстро уменьшается с удалением от него, можно ожидать, что сделанное предположение не будет давать существенной ошибки. Аналогичная ситуация имеет место в теории турбулентных струй, дающей хорошее соответствие с экспериментом. Система (7) обладает важным законом сохранения. Умножая первое уравнение на при k = 1 или на при и интегрируя по всему пространству, в предположении, что и ее производные достаточно быстро стремятся к нулю на бесконечности, получим: Этот результат есть частный случай общего утверждения о том, что в безграничной вязкой жидкости, покоящейся на бесконечности, величина
не зависит от времени (доказательство дано в работе [6]). Величину Р естественно назвать импульсом вихря, а постоянство этой величины есть не что иное, как закон сохранения импульса. Автомодельная задача. Для полученной системы уравнений необходимо, вообще говоря, задать начальное условие – начальное распределение завихренности, определяемое способом образования кольцевого вихря. Однако, как уже отмечалось раньше, распределение завихренности очень быстро приближается к некоторому распределению, не зависящему от начальных условий, которое в дальнейшем линейно зависит от расстояния. Естественно поэтому предположить, что предельное распределение завихренности описывается автомодельным решением системы Гельмгольца (4). Поставим следующую задачу, которую снова будем рассматривать и в осесимметричном и в плоском вариантах. Пусть в момент времени t = 0 завихренность равна нулю всюду в безграничном пространстве, за исключением начала координат, где в осесимметричном случае расположен кольцевой вихрь бесконечно малогo радиуса и бесконечной большой интенсивности так, что
В плоском варианте будем считать, что в начале координат имеется вихревой диполь: пара вихрей бесконечно большой интенсивности и противоположных знаков, расположенных на бесконечно малом расстоянии друг от друга так, что
Легко видеть, что Р0 и – это импульсы кольцевого вихря в начальный момент соответственно для осесимметричного и плоского вариантов. В такой постановке единственной размерной постоянной, определяющей движения вихря, будет в осесимметричном случае и в плоском. Следовательно, в осесимметричном случае искомые функции и имеют такой вид: а турбулентная вязкость в соответствии с (6) – вид
Анализ размерностей (см. § 4) позволяет уточнить вид этих функций, именно где а — постоянная. Таким образом, сформулированная задача оказывается автомодельной (см. гл. I). В плоском случае точно так же можно заключить, что искомые функции имеют следующий вид:
где
Подставляя выражения (12) и (14) в (7), мы получим уравнения для определения и Ограничимся далее плоским случаем (k = 0); здесь получается следующая система уравнений с частными производными:
Нам нужно найти решения этой системы и , стремящиеся к нулю на бесконечности и удовлетворяющие условию нормировки
которое следует из закона сохранения импульса и начального условия. Из соображений симметрии ясно также, что и должны быть нечетными функциями от у:
Постоянная , входящая в первое уравнение (16), остается неопределенной — ее величина должна определяться сравнением с экспериментом. К сожалению, точное решение системы (16) получить не удается и мы ограничимся замечаниями общего характера. Назовем радиусом вихря и расстоянием, им пройденным, соответственно такие значения r = R(t) и z = L(t), при которых функция имеет максимум при фиксированном значении t. Эти величины, очевидно, определяются равенствами, которые в осесимметричном случае имеют вид
здесь и – координаты точки, где достигает максимума функция , положение этой точки зависит от . Равенства (19) определяют закон движения вихря. Из них сразу следует, что
где
Мы получаем, что радиус вихря линейно зависит от расстояния, им проходимого; этот результат хорошо подтверждается экспериментом. Величина измеряется в эксперименте и оказывается малой порядка Зная и имея решение системы (16), можно определить . Естественно ожидать, что малым соответствуют малые , и следовательно, для сравнения с экспериментом достаточно получить решение системы (16) для малых значений . Но и эта задача оказалась сложной. Модельная задача. Следуя Б. А. Л у г о в ц о в у [7], рассмотрим модельную задачу, в которой (16) заменяется похожей системой уравнений
где и координаты точки максимума функции (х, у). Сделаем замену переменных, полагая
Тогда из первого уравнения (21) мы получим для уравнение Оно допускает разделение переменных: полагая мы сведем его к обыкновенным дифференциальным уравнениям где с – постоянная разделения. Нас интересуют решения, стремящиеся к нулю при и кроме того, в силу (18) функция должна быть нечетной. Эта задача хорошо изучена – в квантовой механике ей соответствует задача о гармоническом осцилляторе (см. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский [1]). Решения уравнений (22), удовлетворяющие нашим дополнительным условиям, существуют только при Отсюда следует, что либо либо , а условие нечетности по оставляет только одну возможность Соответствующе решение имеет вид , откуда где А – произвольная постоянная, определяемая нормировкой (17). Во втором уравнении (21) теперь правая часть известна, и оно становится уравнением Пуассона, решение которого, обращающееся в нуль на бесконечности, определяется формулой (см., например, В. С. Владимиров [2]). Зная , мы можем определить постоянную и найти окончательное решение модельной задачи: здесь координаты точки максимума Следовательно,
Это модельное решение можно использовать для грубой оценки положения максимума (х, у) в точной задаче, что очень важно для возможности применения численных методов. Сравнение с экпериментом. Закон движения вихря (19) дает хорошее согласие с экспериментом. Удобно преобразовать формулы (19) так, чтобы в них входили экспериментально измеряемые величины – начальный радиус и начальная скорость . В качестве начала отсчета удобно выбирать не момент выхода вихря из отверстия, а более поздний момент, когда вихрь от отверстия отойдет на некоторое расстояние (четыре-пять диаметров отверстия), – это объясняется тем, что на вырабатывание автомодельного распределения завихренности в вихре необходимо некоторое время. Если время t и расстояние L(t), проходимое вихрем, отсчитывать от этой точки, то вместо (19) получим На рис. 125 кружками отмечены экспериментальные точки, соответствующие движению вихря, начальные параметры которого равны R0 =10 см, = 4, 3 м/сек, а величина . Сплошная кривая получена по формуле (26). Отклонение расчетной кривой от экспериментальных точек при больших t объясняется тем, что турбулентная вязкость со временем уменьшается и, начиная с некоторого момента, делается сравнимой с кинематической, после чего пренебрежение кинематической вязкостью становится неправомерным. После того как кинематическая вязкость становится существенной, вихрь быстро останавливается.
|