Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т.е. .

Геометрический смысл смешанного произведения выражает следующая теорема.

Теорема. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , , , взятому со знаком «плюс», если тройка векторов , , правая, и со знаком «минус», если тройка векторов , , левая. Если же векторы , , компланарны, то .

В краткой записи:

Свойства смешанного произведения

1. .

2. Величина векторного произведения не изменяется при циклической перестановке сомножителей:

3. векторы компланарны.

4. Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей. В частности,

.

5. Выражение смешанного произведения через координаты сомнож ителей

Теорема. Если векторы заданы своими координатами: , , , то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.

.