Вектори. Лінійні операції над векторами

1. Скалярні і векторні величини. Величина, для характеристики якої досить її числового значення у відповідних одиницях вимірювання, називається скалярною. Прикладами скалярних величин є маса, температура, довжина, площа, об’єм, кількість тепла і т.п.

Величина, для характеристики якої крім числового значення вказується ще і напрямок в просторі, називається векторною. Наприклад: сила, швидкість, прискорення, напруженість поля (електростатичного, магнітного, електромагнітного) і т.п.

Геометричним зображенням векторної величини в заданому масштабі є вектор.

Вектором називається відрізок заданої довжини і вказаним напрямком в просторі, тобто направлений відрізок.

В

А

Рис. 1

На рис. 1 А - початкова точка вектора, В - кінець вектора, вектор позначають . Для зручності запису замість символа «» над вектором будемо писати «—». Іноді вектор позначають однією буквою: . Відстань від точки А до точки В називають довжиною або модулем вектора і позначають або .

Якщо початок і кінець вектора збігаються, то такий вектор називається нульовим і позначають . Напрямок нульового вектора може бути довільним.

Два ненульові вектори, що лежать на паралельних прямих або на одній прямій називають колінеарними, позначається . Нульовий вектор вважається колінеарним довільному вектору.

Вектори паралельні одній і тій же площині, або ті що лежать в одній площині називаються компланарними.

Рівними називаються два вектори, якщо вони задовольняють умови:

1) вони колінеарні,

2) їх модулі рівні,

3) вони направлені в одну сторону, тобто

Наприклад, на рис. 2, де АВСD - паралелограм,

Рис. 2

вектори

Якщо , то вектори - протилежні. Вектор протилежний вектору позначають . Вектор протилежний вектору і записують = .

З означення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити в просторі паралельно самому собі, такі вектори називають вільними.

Вектор, модуль якого дорівнює одиниці називається одиничним вектором, або ортом, і позначається :

.

2. Лінійні операції над векторами. До них відносяться додавання векторів та множення вектора на число (скаляр).

Додавання векторів. Нехай задані два вектори . Відкладемо з деякої точки О вектор , а тоді з точки А відкладемо вектор і розглянемо вектор .

Рис. 3

Сумою двох векторів і називається вектор , початок якого знаходиться в початку вектора , а кінець - в кінці вектора за умови, що початок початок знаходиться в кінці .

Згідно рис. 3 вектор замикає ламану OAB, напрямок вектора береться в кінець останнього доданка .

За принципом замикання знаходиться сума більшого числа доданків.

Рис. 4

.

Різниця векторів. Помістимо початки векторів і в одну точку О, і побудуємо замикаючий вектор (рис. 5).

Рис.5

Різницею двох векторів і , що виходять з однієї точки, називається замикаючий вектор (позначається ), напрямок якого вибирається в сторону заменшуваного.

Множення вектора на число. Добутком ненульового вектора на число називається вектор , (позначається = ), колінеарний вектору , модуль якого .

Напрямок вектора збігається з напрямком вектора , якщо > 0, і протилежний напрямку вектора , якщо < 0, тобто

При = 0, або = ввжається, що - нульовий вектор.

Рис. 6

3. Властивості лінійних операцій над векторами.

Рис. 7

Властивість 1, що називається переставною або комутативною, зрозуміла з рис. 7, дозволяє додавати вектори за правилом паралелограма.

- асоціативна або сполучна властивість (див. рис. 8).

Рис. 8

Властивості 3 - 8 пропонуємо перевірити самостійно.

Приклад 1. За даними векторами і побудувати вектори:

а ) .

Розв’язання. Див. на рис. а) і б)

Приклад 2. У трикутнику АВС проведена медіана АМ див. на рис. Виразити вектор через вектори і .

Розв’язання. За означенням різниці векторів , тоді

За означенням суми векторів із ∆ АВМ маємо