Комплексные числа. Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в – действительные числа

Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в – действительные числа, i² = -1 (i называют мнимой единицей).

Если z = а + вi, то а называется действительной частью числа z, а вi – его мнимой частью. Говорят, что комплексное число задано в алгебраической форме. Во множестве комплексных чисел вводятся операции сложения и умножения следующим образом. Если z = а + вi и z₁ = а₁ + в₁i два комплексных числа, то

z + z₁ = (а + а₁) + (в + в₁)× i, z× z₁ = (аа₁ - вв₁) + (ав₁ + а₁в)× i.

Эти операции обладают следующими свойствами.

1. Сложение и умножение для любой пары комплексных чисел определено и однозначно.

2. z + z₁ = z₁ + z, z × z₁ = z₁× z для любых z и z₁ (коммутативный закон сложения и умножения).

3. z +(z₁ + z₂) = (z + z₁)+ z₂, z × (z₁ × z₂) = (z × z₁)× z₂ для любых z, z₁ и z₂ (ассоциативный закон сложения и умножения).

4. z × (z₁ + z₂) = z × z₁ + z × z₂ для любых z, z₁ и z₂ (дистрибутивный закон).

5. Если 0 = 0 + 0× i, то z + 0 = z для любого z.

6. Если - z = - а + (- в) i, то z + (-z) = 0, т.е. для любого комплексного числа существует противоположное число.

Число = а - вi называется сопряжённым для числа z, z + = 2 а, z× = а² + в². Следовательно, если z ¹ 0, то z× ¹ 0.

7. Если 1 = 1 + 0× i, то 1× z = z.

8. Если z ¹ 0 и , то . Следовательно, для каждого отличного от нуля комплексного числа существует обратное число.

Итак, во множестве комплексных чисел введены такие же операции (сложение и умножение), как и во множествах рациональных и действительных чисел. И свойства этих операций во всех трёх множествах одинаковы. Такие множества называются полями. Их общее обозначение Р. Конкретные обозначения: Q – поле рациональных чисел, R – поле действительных чисел, С – поле комплексных чисел.

Зафиксируем на евклидовой плоскости прямоугольную систему координат. Пусть

z = а + bi. Будем говорить, что точка с координатами (а, b)и вектор с этими же координатами изображаютданное комплексное число. Длину вектора назовём модулем числа z, Угол (ориентированный) между осью (ОХ) и этим вектором назовём аргументом данного числа. Очевидно, каждое комплексное число имеет бесконечно много значений аргумента. Так как а = пр(ОХ) и b = пр(ОУ) , то а = r× cos j,

b = r× sin j, r² = а² + b², tg j = . Подставив значения а и b в алгебраическую форму числа z, получим z = r (cos j + i× sin j). Это тригонометрическая форма комплексного числа. Легко проверить, что z × z₁ = r× r₁ (cos(j + j₁) + i× sin(j + j₁)); , если z₁ ¹ 0. Отсюда zⁿ = rⁿ (cos nj + i× sin nj). Можно показать, что

, где к = 1, 2, …, n и - арифметическое значение корня из действительного числа r. Таким образом, корень n- ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.