Решение задачи аппроксимации

Постановка задачи аппроксимации

В экономике и технике часто возникает задача подбора функциональной зависимости для двух наборов данных. Независимые переменные х называют факторами, а зависимые у — откликами. Функция у = f(x) позволяет предсказывать значение отклика для факторов, не входящих в исходную совокупность.

Так как задача отыскания функциональной зависимости очень важна, в Excel введен набор функций, которые позволяют решать эту задачу. Эти функции основаны на методе наименьших квадратов. Но регрессионный анализ — это не только метод наименьших квадратов. Относительно исходных данных делаются некоторые статистические предположения. В качестве результата выдаются не только коэффициенты функции, приближающей данные, но и статистические характеристики полученных результатов.

Рассмотрим основные функции, используемые для регрессионного анализа.

Линейная регрессия

Пусть известно, что полученные наборы экспериментальных данных {x_i} и {y_i} описываются линейной зависимостью общего типа:

y = m·x + b

Задача состоит в нахождении параметров этой зависимости, т. е. в вычислении коэффициентов m и b.

Коэффициенты т и b можно вычислить с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК. Названия этих функций отвечают геометрическому смыслу коэффициентов регрессии: т — это тангенс угла наклона прямой регрессии к оси абсцисс, a b — отрезок, отсекаемый этой прямой на оси ординат.

Функция НАКЛОН(известные_значения_y; известные_значения_x) и функция ОТРЕЗОК(известные_значения_y; известные_значения_x) имеют одинаковый набор аргументов.

Известные_значения_y - это массив или интервал ячеек, содержащих числовые зависимые точки данных.

Известные_значения_x - это множество независимых точек данных.

Аргументы функций должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако, ячейки с нулевыми значениями учитываются.

Если известные_значения_y и известные_значения_x пусты или содержат различное число точек данных, то функции возвращают значение ошибки #Н/Д.

Рассмотрим решение задачи линейной регрессии с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК на примере.

Пример 3.1. Дан набор экспериментальных данных Х_i = {0, 1, 2, 3, 4} и Y_i = {3, 1, 6, 3, 7}. Найти коэффициенты m и b прямой линии y = m·x + b, наилучшим образом аппроксимирующей эти данные.