Основные виды нелинейных зависимостей, сводящихся к линейным

1) y = a·b^x - показательная функция;

2) y = a·e^b·x – экспоненциальная зависимость;

3) - дробно-линейная функция;

4) y = a ·ln(x) + b - логарифмическая функция;

5) y = a · x^b - степенная функция;

6) - гиперболическая функция;

7) - дробно-рациональная функция.

Приёмы сведения нелинейной зависимости к линейной

На следующем примере рассмотрим некоторые приёмы сведения нелинейных зависимостей к линейной.

Пример 3.3.

Известно, что приведённые в таблице экспериментальные данные { x }, { y }

могут быть описаны с помощью следующих теоретических зависимостей общего вида:

y1(х) = a ·e^b·x

1 Определить, какая из предложенных теоретических зависимостей наилучшим образом описывает набор экспериментальных данных { x }, { y }, для чего:

а) вычислить параметры каждой теоретической зависимости;

б) вычислить сумму квадратов отклонений для каждой зависимости;

в) отобразить на графиках (отдельно для каждой зависимости) экспериментальные точки и теоретические зависимости;

2 Предсказать значение Y при Х = 11. Показать соответствующие точки на графиках.

Решение.

Для первой зависимости:

y1(х) = a ·e^b·x

Чтобы от произведения перейти к сумме и избавиться от возведения числа е в степень – прологарифмируем обе части выражения. Получим:

ln(y) =ln(a) + b · x

Затем, выполним замену переменных:

z = ln(y), c = ln(a),

сводим зависимость к линейной:

z = c + x · b.

Далее в Excel c помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК найдём коэффициенты с и b.

Затем вычислим коэффициент a: a = exp(c).

Решение в Excel:

1 В ячейки А2: В7 введём исходные данные (рисунок 3.8).

2 В ячейку С3 введём формулу =LN(B3) и скопируем её в ячейки С4: С7.

3 Для вычисления коэффициента a в ячейку В11 введём формулу =EXP(ОТРЕЗОК(С3: С7; А3: А7)).

4 Для вычисления коэффициента b в ячейку В12 введём формулу =НАКЛОН(С3: С7; А3: А7).

5 Для вычисления квадратов отклонений заданной зависимости от экспериментальных данных в ячейку D3 введём формулу =($B$11*EXP($B$12*A3)-B3)^2 и скопируем её в ячейки D4: D7.

6 В ячейке D8 вычислим сумму квадратов отклонений: =СУММ(D3: D8).

7 Для построения теоретической кривой, используя найденные коэффициенты, в ячейку Е3 введём формулу =$B$11*EXP($B$12*A3) и скопируем её в ячейки Е4: Е7.

8 Для предсказания значения Y при Х=11 в ячейку А9 введём 11, а в ячейку Е11 скопируем полученную формулу.

Рисунок 3.8 – Вычисление коэффициентов а и b для зависимости y1(х) = a ·e^b·x
путём сведения её к линейной

9 Выделим диапазоны А2: В7 и Е2: Е7. С помощью Мастера диаграмм построим точечный график.

10 Для добавления на график предсказанного значения Y при Х=11 на вкладке Ряд (рисунок 3.9) щёлкнем по кнопке Добавить и заполним соответствующие поля.

11 Щёлкнем по кнопке Готово.

12 На полученном графике с помощью форматирования представим теоретическую кривую в виде гладкой линии без маркеров (рисунок 3.10).

Рисунок 3.10 – Результат решения для первой зависимости в Excel

Для второй зависимости:

Чтобы свести данную зависимость к линейной перевернём обе части исходной зависимости:

ð

и выполним замену переменных:

В результате получим линейную зависимость:

z = a · x + b.

Далее в Excel c помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК найдём коэффициенты a и b, и затем вычислим с и d:

d = b · c.

Решение в Excel:

1 В ячейки А30: В35 введём (скопируем) исходные данные (рисунок 3.11).

2 В ячейку С31 введём формулу =1/B31 и скопируем её в ячейки С32: С35.

3 Для вычисления коэффициента c в ячейку В39 введём формулу =1/НАКЛОН(C31: C35; A31: A35).

4 Для вычисления коэффициента d в ячейку В26 введём формулу =ОТРЕЗОК(C31: C35; A31: A35)*B39.

5 Для вычисления квадратов отклонений заданной зависимости от экспериментальных данных в ячейку D31 введём формулу =($B$39/(A31+$B$40)-B31)^2 и скопируем её в ячейки D32: D35.

6 В ячейке D36 вычислим сумму квадратов отклонений: =СУММ(D31: D35).

Рисунок 3.11 – Вычисление коэффициентов с и d для зависимости
путём сведения её к линейной

7 Для построения теоретической кривой, используя найденные коэффициенты, в ячейку Е31 введём формулу =$B$39/(А31+$B$40) и скопируем её в ячейки Е32: Е35 (рисунок 3.12).

8 Для предсказания значения Y при Х=11 в ячейку А37 введём 11, а в ячейку Е37 скопируем полученную формулу.

9 Выделим диапазоны А30: В35 и Е30: Е35. С помощью Мастера диаграмм построим точечный график.

10 Для добавления на график предсказанного значения Y при Х=11, как и для предыдущей зависимости, на вкладке Ряд щёлкнем по кнопке Добавить и заполним соответствующие поля.

11 Щёлкнем по кнопке Готово.

12 На полученном графике с помощью форматирования представим теоретическую кривую в виде гладкой линии без маркеров.

Рисунок 3.12 – Результат решения для зависимости в Excel