Определения функции от матрицы.

Определение 1. Приведем некоторые примеры формул, по которым ведется вычисление основных функций на ЭВМ:

(4.1)

(4.2)

, (4.3)

где x – аргумент функции.

Аналогично можно задать функции от матриц:

(4.4)

(4.5)

, (4.6)

где – матрица (аргумент функции).

Определение 2. В большинстве случаев, за редким исключением, квадратная матрица -го порядка может быть представлена в виде произведения:

, где , (4.7)

– собственные числа матрицы ; – матрица, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами.

Из разложения (4.7) следует:

; ; …

, (4.8)

где

. (4.9)

Подставив в формулы (4.4)-(4.6), получим:

; (4.10)

; (4.11)

, (4.12)

где

; ;

. (4.13)

Данные преобразования позволяют записать общую формулу для определения функций от матрицы, которая существенно упрощает процесс вычисления:

, (4.14)

где

; (4.15)

– собственные числа матрицы , – матрица, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами матрицы , n – порядок квадратной матрицы .

Замечание 1. Самый общий случай представления квадратной матрицы в виде произведения также имеет вид жорданова разложения

(4.16)

но при этом матрица Жордана имеет квазидиагональный вид:

, ; ,

где – жорданова клетка; матрица состоит из столбцов, часть которых является собственными векторами, а часть присоединенными (или корневыми) векторами, при этом

, (4.17)

где

; (4.18)

, (4.19)

– порядок k -ой жордановой клетки.

Более подробно данный вопрос рассматривается в специальной литературе по линейной алгебре.

Дополнительный вид определения функции от матрицы. В случае, если порядки всех жордановых клетки равны единице тогда:

,

где

; (4.20)

– собственный вектор матрицы , т.е.

, (4.21)

где – собственное число; при соответствующей нормировке

. (4.22)

Очевидно, что матрица Жордана представима в виде разложения

. (4.23)

Матрица имеет вид:

, (4.24)

где – k -я вектор-строка матрицы .

Тогда матрица может быть представлена следующим образом:

, (4.25)

где

(4.26)

– оператор проектирования представимый в виде

. (4.27)

Покажем, что

. (4.28)

Вследствие (4.26) имеем:

.

Произведение является результатом умножения k -ой строки матрицы на k -й столбец матрицы . В тоже время, как известно, . Следовательно, , что доказывает формулу (4.28).

Соответственно функция от матрицы будет иметь вид:

(4.29)

В частности, справедливы формулы:

; ; . (4.30)

Такая запись применяется, к примеру, для получения общего решения задачи динамики.

Замечание 2. Функции от матриц являются необходимым средством решения систем дифференциальных уравнений.