Дискретно-аналитический метод решения задачи.

Для решения задачи будем использовать дискретно-аналитический метод, который состоит в следующем: по оси x осуществляется конечно-разностная аппроксимация, а по оси времени t рассматривается непрерывная задача (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Схема дискретизации.

Введем обозначения:

; , , (4.55)

где в простейшем случае

. (4.56)

Здесь – количество внутренних узлов конечно-разностной сетки, причем пусть – нечетное число.

Для всех внутренних узлов получим конечно-разностное уравнение – дискретный аналог уравнения колебаний (4.54):

, , (4.57)

где

(4.58)

– вторая конечная разность, приближенно представляющая вторую производную от искомой функции по аргументу .

В соответствии с краевыми условиями из (4.54) для граничных узлов, очевидно, можем записать:

; ; ; . (4.59)

C учетом (4.59) преобразуются уравнения (4.57) Имеем:

; (4.60)

; (4.61)

, ; (4.62)

; (4.63)

. (4.64)

Обоснуем, например, (4.60) и (4.61):

;

Введя обозначение

, (4.65)

можем представить разрешающую систему конечно-разностных уравнений (4.60)-(4.64) в матричном виде

(4.66)

где

. (4.67)

Заметим, что матрица положительно определена, т.е. все ее собственные числа положительные (в этом можно убедиться при их непосредственном вычислении).

Общее решение задачи (4.66) имеет вид:

. (4.68)

По условию рассматриваемой задачи

, (4.69)

откуда следует, что

, где . (4.70)

Это значит, что в векторе лишь один «срединный элемент» (с номером ) равен единице, а остальные элементы равны нулю. Ненулевой элемент вектора соответствует узлу конечно-разностной сетки с координатой , в котором в момент времени приложено сосредоточенное ударное воздействие величиной .

Подставив (4.69) в (4.68), получим окончательный вид общего решения:

. (4.71)

Варианты задания.

– величина приложенного сосредоточенного ударного воздействия; ; ; – номер группы, – номер студента по журналу.

Принять количество количество внутренних узлов конечно-разностной сетки .

Пример соответствующего M-файла (ниже задано , ):

function blow_f

g=input('g=');

s=input('s=');

n=input('n=');

L=300; P=300;

h=L/(n+1);

alfa=10^8*(100+g+s);

x=0: h: L;

a0=6*eye(n); a0(1, 1)=5; a0(n, n)=5;

a1=ones(n-1, 1);

a2=ones(n-2, 1);

A=a0-4*(diag(a1, -1)+diag(a1, 1))+diag(a2, -2)+diag(a2, 2)

A=alfa*A/h^4;

F=zeros(n, 1); F((n+1)/2)=P;

sq_A=sqrtm(A);

fJ=sqrt(eig(A));

t0=pi/(4*fJ(n));

tmax=125*t0;

nt=3;

t=[t0, tmax/2, tmax];

res=zeros(nt, n+2);

fprintf('\n прогиб балки Y(x, t)\n')

for i=1: nt

Y_t=inv(sq_A)*funm(sq_A*t(i), 'sin')*F;

res(i, 2: n+1)=Y_t';

fprintf('Y(%6.4f): ', t(i)), fprintf('%8.4f', res(i,:)), fprintf('\n')

end

hold on

plot(x, res(1,:), '.-')

plot(x, res((nt+1)/2,:), 'o-.r')

plot(x, res(nt,:), '*: g')

grid on

s1=sprintf('t=%6.4f', t(1));

s2=sprintf('t=%6.4f', t((nt+1)/2));

s3=sprintf('t=%6.4f', t(nt));

legend(s1, s2, s3, 0)

title(sprintf('Y(x, t)=-inv(sqrt(A))*sin(sqrt(A)t))*F\n%s %s %s', s1, s2, s3))

Результаты расчета:

g=3

s=12

n=7

A =

5 -4 1 0 0 0 0

-4 6 -4 1 0 0 0

1 -4 6 -4 1 0 0

0 1 -4 6 -4 1 0

0 0 1 -4 6 -4 1

0 0 0 1 -4 6 -4

0 0 0 0 1 -4 5

прогиб балки Y(x, t)

Y(0.0027): 0.0000 -0.0001 -0.0053 0.0217 0.7703 0.0217 -0.0053 -0.0001 0.0000

Y(0.1673): 0.0000 2.2085 4.2797 5.8565 5.5146 5.8565 4.2797 2.2085 0.0000

Y(0.3346): 0.0000 -1.3399 -3.5149 -3.9787 -4.1294 -3.9787 -3.5149 -1.3399 0.0000

> >

Замечание. Здесь вычисление функций от матрицы A реализуются следующим образом:

Ø с использованием стандартной функции sqrtm(A),

Ø с использованием funm(sqrtm(A), ’sin’).

Кроме того, для вычисления , и можно использовать встроенные функции expm(A), logm(A) и sqrtm(A), соответственно.