Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дискретно-аналитический метод решения задачи теплопроводности
Математическая постановка задачи имеет вид: (4.37) где – координата по толщине стены, ; – координата по времени, ; – значение температуры в точке во время ; – коэффициент температуропроводности материала; – функция, характеризующая мощность возможного источника тепла. Задача (4.37) определена в пространственно-временной области W: . (4.38) Отметим, что ; . (4.39) Заметим, что поскольку задача (4.37) содержит начальные условия по времени, то она является задачей Коши. Ниже рассмотрим дискретно-аналитический метод решения задачи, который состоит в следующем: по оси x осуществляется конечно-разностная аппроксимация, а по времени t рассматривается непрерывная (континуальная) задача. Пусть , – координаты точек разбиения, причем и – граничные точки (в которых заданы краевые условия). Таким образом, искомыми будут являться функции , во внутренних узлах сетки. Схема аппроксимации пространственно-временной области в данном случае условно показана на рис. 5.5.1. Рис. 4.1. Пространственно-временная область: Во всех внутренних точках узлах уравнение теплопроводности в (4.37) примет вид: (4.40) при этом пусть , . (4.41) В соответствии с краевыми условиями из (4.37) для граничных точек, в свою очередь, можем записать: , , . (4.42) Следовательно, уравнения теплопроводности для узлов с номерами и имеют соответственно вид: ; (4.43) . (4.44) Введем обозначения: ; , (4.45) где ; . (4.46) Получаем матричную формулировку разрешающей системы уравнений: (4.47) где ; ; . (4.48)
Согласно (4.31)-(4.32) общее решение задачи (4.47) имеет вид: . (4.49) Если не зависит от , переходим к формуле . Выполняем интегрирование: , откуда . (4.50) Реализация формулы (4.50) предполагает вычисление экспоненты от матрицы , для выполнения которого следует воспользоваться результатами предыдущего параграфа (см. формулу (4.17)). Имеем: , (4.51) где – матрица собственных векторов матрицы ; – обратная матрица к матрице ;
; (4.52) – собственные числа матрицы , .
Аналогично можем вычислить , где . (4.53)
Варианты задания. – функция, характеризующая мощность источника тепла; – коэффициент температуропроводности материала стены; – краевые условия; – начальные условия; – толщина стены; – номер группы, – номер студента по журналу.
|