Пример оформления. Пример решения задачи

Строим график, чтобы убедиться, что минимум есть.

1) Используя метод дихотомии, вычислить минимум функции g (x)=ln(x)+3cos(x), в интервале (2.5, 3.5) c точностью .

По формуле (10), полагая , найдем: , , , . Так как , то координаты концов нового интервала таковы: и . Проверяем условие остановки . Перейдем ко второму шагу.

k= 2) , , , . Так как , то координаты концов нового интервала и , . Третий шаг.

k= 3) , , , . Так как , то координаты концов нового интервала и . Проверка условия остановки: . Четвертый шаг.

k= 4) , , , .

Так как , то координаты концов нового интервала и . Проверка условия остановки: . Пятый шаг.

k= 5) , , , .

Так как , то координаты концов нового интервала и . Проверка условия остановки: . Шестой шаг.

k= 6) , , , .

Так как , то координаты концов нового интервала и . Проверка условия остановки: . Седьмой шаг.

k= 7) , , , . Так как , то координаты концов нового интервала и . Проверка условия остановки: . Условие остановки выполнено. Конец. Ответ: , .

Проверим полученное решение с помощью МАТЛАБ. Предварительно нужно создать файл-функцию, ее назовем, например opt. Минимум функции g (x)=ln(x)+3cos(x) в интервале (2.5, 3.5) найдем с помощью функции fminbnd, задав первым аргументом имя файл-функции, а вторым и третьим - границы отрезка, на котором ищется локальный минимум.

> > function g = opt(x) g=ln(x)+3cos(x);

> > x2=fminbnd(@opt, 0.0, 1.0)

Задание 4 (вариант) (найти экстремум в МАТЛАБ и одним из методов см. интернет «math.semestr.ru Минимум функции методом наискорейшего спуска»)

Задачи для самостоятельного решения метод покоординатного спуска, либо градиентный метод с переменным шагом, методом Ньютона, метод наискорейшего спуска.

Найти координаты минимума функций

1) ;;

2) ;;

3) ;;

4) ;;

5) ;;

6) ;;

7) ;;

8) ;;

9) ;;

10) ;

11) ;;

12) ;;

13); ;.

14) ;

15) ;;

Пример решения задачи поиска минимума функции нескольких переменных в МАТЛАБ с помощью команды fminsearch. Найти значения переменных , , при которых функция достигает минимума. Проведем сначала анализ поведения этой функции, построив ее линии уровня при помощи следующих команд:

> > [X, Y] = meshgrid( 6:.1: 6, 3:.1: 3);

> > Z=Y.^2+(cos(X)).^2 0.1.*X+1;

> > [C, h] = contour(X, Y, Z);

> > set(h, 'ShowText', 'on', 'TextStep', get(h, 'LevelStep')*2)

> > colormap (gray)

На рис. 1 изображены линии уровня, по которым можно судить, где расположены минимумы. Значение минимума можно вычислить точно, выбрав начальное приближение вблизи интересующего нас минимума. Так если выбрать начальное приближение , , то вычисление в МАТЛАБ дает

> > opt=@(x)(x(2).^2+1+(cos(x(1))).^2+0.1.*x(1));

> > [x, Z]= fminsearch(opt, [ 1.0, 0.0])

x =

1.6209 0.0000

Z =

0.8404

Если же за начальное приближение возьмем , , то эти вычисления дают:

> > [x, Z]= fminsearch(opt, [1.0, 0.0])

x =

1.5207 0.0000

Z=

1.1546

Выбирая последовательно подходящие начальные приближения, можно найти все точки минимумов и максимумов функции.

Примеры оформления