Основная позиционная задача в проекциях с числовыми отметками.

Изображение геометрических тел с помощью горизонталей значительно упрощает построение сечений, так как любая линия сечения может быть выполнена как геометрическое место точек пересечения горизонталей с одинаковыми высотными отметками. На этом принципе выполнялось построение линии пересечения двух плоскостей. Поэтому, решая задачу пересечения гранных или кривых поверхностей плоскостью или прямой, необходимо в начале выполнить градуирование прямолинейных элементов этих поверхностей и построить горизонтали поверхности.

10. Вторая позиционная задача – построение линий пересечения двух плоскостей.

Линией пересечения двух плоскостей является прямая. Проекции прямой пересечения двух плоскостей общего положения определяют проекциями двух точек, принадлежащих одновременно обеим плоскостям.

Эту задачу можно решить двумя способами:

1 Построить точки пересечения двух прямых одной плоскости с другой плоскостью, т. е. использовать два раза схему решения первой основной позиционной задачи – нахождения точки пересечения прямой с плоскостью.

2 Применить метод вспомогательных секущих плоскостей частного положения, построить их линии пересечения с заданными плоскостями. Две соответственные точки пересечения этих линий определят искомую линию пересечения данных плоскостей.

1-й способ. Построим проекции линии пересечения (МN) плоскостей a(А, В, С) и b(D, E, F). Через прямую АВ принадлежащую плоскости a вводим вспомогательную проецирующую плоскость S(S₂) тогда m=SÇ β. Находим точку пересечения N(N₁, N₂) прямой АВ с прямой m: N₁ = А₁ В₁ Ç m₁.

Аналогично рассуждая, строим вторую точку линии пересечения М. Прямая MN является линией пересечения исходных плоскостей, так как точки M и N принадлежат двум заданным плоскостям.

Для наглядности чертежа определяем видимость элементов плоскости по методу конкурирующих точек.

2-й способ. Построим линию пересечения  двух плоскостей: ∑ (A, B, C) и Θ (DE׀ ׀ FK).

Для нахождения точек К и Млинии пересечения двух плоскостей ∑ и Θ пересечем заданные плоскости двумя вспомогательными горизонтальными плоскостями уровня Г (Г₂) и ∆ (∆ ₂). На рисунке 2.44 видно, что плоскость уровня Г (Г₂) пересечет каждую из исходных плоскостей по линиям уровня h (h₁, h₂) и h¹ (h¹_1, h¹₂), которые пересекутся в точке M(M₁, M₂).Аналогично, плоскость уровня ∆ (∆ ₂) пересечет каждую исходную плоскость ∑ и Θ по линиям уровня h² (h²₁, h²₂) и h³ (h³₁, h³₂), которые пересекутся в точке К (К₁, К₂), точки М u К лежат в плоскостях уровня и принадлежат одновременно двум исходным плоскостям ∑ и Θ. Точки М и К определяют линию пересечения МК (М₁К₁, M₂К₂)плоскостей ( =MN). Заметим, что третья и четвертая горизонтали могут быть построены по одной точке, т.к. они соответственно параллельны h и h¹.