Пример 1.3.

Шаг 1 - Постановка задачи.

Имеется некая производственная фирма, в которой есть отдел технического контроля – ОТК. В этом отделе числятся работники трех разрядов. Известно, что норма выработки за 8-ми часовую смену составляет 2360 изделий, штатное расписание на данный момент – 15 человек. Фирма несет убыток 2$ за каждое бракованное изделие. Требуется составить оптимальное штатное расписание ОТК (минимизация расходов на содержание)

Шаг 2 – ПММ.

2.1. Введем управляемые переменные, с помощью которых мы будем изменять значение ЦФ:

– количество работников j -ого разряда, j =1, 2, 3.

2.2. Наша целевая функция:

f(x₁, x₂, x₃) – общие затраты фирмы на персонал ОТК ($ в час)

f(x₁, x₂, x₃) = (4+2*25*0, 02) x₁ + (2, 5+2*20*0, 05) x₂ + (2+2*15*0, 08) x₃ f(x₁, x₂, x₃) = 5 x₁ +4, 5 x₂ + 4, 4 x₃ (1)

Выпишем ограничения задачи:

- ограничение на штатное расписание

- ограничение на норму выработки

3 шаг – Анализ модели.

3.1. Для решения поставленной задачи выберем графический метод, потому что данное решение будет выглядеть наглядно.

3.2. Сначала преобразуем модель, т.е. сведем ее к двум переменным.

(*)

Тогда

Данную задачу мы решим графическим методом в главе 2, после изложения

графического метода (раздел 2.4).

Здесь же проведем дальнейшее преобразование модели. Для этого ограничение (6) запишем в форме равенства, считая, что мы не будем

перевыполнять норму выработки. Следовательно, выражение (6´) примет вид:

, или , откуда , следовательно, можно преобразовать нашу модель (1´)-(7´) к модели с одной переменной.

Решение

3.3 Решение задачи (1″)-(7″)

Общее решение, соответствующее неравенствам (2″)-(7″), имеет вид

.

Т.к. нам нужно найти минимальное значение функции, то

()

(*)

4, 5, 6 шаги проведем в главе 2.

Пример 1.4. Фабрика выпускает продукцию двух видов: П₁ и П₂. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства этой продукции используются три исходных продукта – A, B, C. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6, 8 и 5 т соответственно. Расходы сырья A, B, C на 1 тыс. изделий П₁ и П₂ приведены в

таблице 1.1.

Таблица 1.1

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на изделия П₂ никогда не превышает спроса изделия П₁ более чем на 1 тыс. шт. Кроме того, установлено, что спрос на изделия П₂ никогда не превышает 2 тыс. шт. в сутки.

Оптовые цены 1 тыс. шт. изделий П₁ равны 3 тыс. руб., 1 тыс. шт. П₂ – 2 тыс. руб.

Какое количество изделий (в тыс. шт.) каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построение математической модели следует начать с идентификации переменных (искомых величин). После этого целевая функция и ограничения выражаются через соответствующие переменные.

В рассматриваемом примере имеем следующее:

Переменные. Так как нужно определить объемы производства каждого вида продукции, переменными являются:

X₁ – суточный объем производства изделия П₁ в тыс. шт.;

X₂ – суточный объем производства изделия П₂ в тыс. шт.

Целевая функция. Так как стоимость 1 тыс. изделий П₁ равна 3 тыс. руб., суточный доход от ее продажи составит 3X₁ тыс. руб. Аналогично доход от реализации X₂ тыс. шт. П₂ составит 2X₂ тыс. руб. в сутки. При допущении независимости объемов сбыта каждого из изделий общий доход равен сумме

двух слагаемых – дохода от продажи изделий П₁ и дохода от продажи изделий П₂.

Обозначив доход (в тыс. руб.) через , можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения X₁ и X₂, максимизирующие величину общего дохода:

, .

Ограничения. При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход исходных продуктов A, B и С и спрос на изготовляемую продукцию, что можно записать так:

Расход исходного продукта для производства обоих видов изделий

Максимально возможный запас данного исходного продукта

Это приводит к трем ограничениям:

X₁ + 2X₂ 6 (для А),

2X₁ + X₂ 8 (для В),

X₁ + 0, 8X₂ 5 (для С).

Ограничения на величину спроса на продукцию имеют вид:

X₂ - X₁ 1 (соотношение величин спроса на изделия П₁ и П₂),

X₂ 2 (максимальная величина спроса на изделия П₂).

Вводятся также условия неотрицательности переменных, т.е. ограничения на их знак:

X₁ 0 (объем производства П₁),

X₂ 0 (объем производства П₂).

Эти ограничения заключаются в том, что объемы производства продукции не могут принимать отрицательных значений.

Следовательно, математическая модель записывается следующим образом.

Определить суточные объемы производства (Х₁ и Х₂) изделий П₁ и П₂ в тыс. шт., при которых достигается

(целевая функция)

при

Х₁ + 2Х₂ 6

2X₁ + X₂ 8

X₁ + 0, 8X₂ 5

-X₁ + Х₂ 1

X₂ 2

X₁ 0, X₂ 0

Пример 1.5.

Металлургическому заводу требуется уголь с содержанием фосфора не более 0, 03% и с долей зольных примесей не более 3, 25%. Завод закупает три сорта угля А, В, С с известным содержанием примесей. В какой пропорции нужно смешивать исходные продукты А, В, С, чтобы смесь удовлетворяла ограничениям на содержание примесей и имела минимальную цену?

Содержание примесей и цена исходных продуктов приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Построим математическую модель. Обозначим:

Х₁ – количество угля сорта А в тонне смеси

Х₂ – количество угля сорта В в тонне смеси

Х₃ – количество угля сорта С в тонне смеси

– стоимость 1 т смеси – целевая функция,

0, 06 Х₁ + 0, 04 Х₂ + 0, 02 Х₃ 0, 03 (%) – ограничение на содержание фосфора в смеси,

2 Х₁ + 4 Х₂ + 3 Х₃ 3, 25 (%) – ограничение на содержание зольных примесей,

Х₁ + Х₂ + Х₃ = 1 (т) – ограничение на состав 1 т смеси.

Окончательно математическая модель имеет вид.

Определить количество угля сортов А, В, С (Х₁, Х₂, Х₃) в тонне смеси, при которых достигается

при

0, 06 Х₁ + 0, 04 Х₂ + 0, 02 Х₃ 0, 03

2 Х₁ + 4 Х₂ + 3 Х₃ 3, 25 (1.2)

Х₁ + Х₂ + Х₃ = 1

Х_{1, 2, 3} 0.

Пример 1.6. (задача составления кормовой смеси (задача о диете).

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500 г = 0, 5 кг.

Для того чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов.

В табл. 1.3 приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента.

Смесь должна содержать:

не менее 0, 8% кальция

не менее 22% белка от общего веса смеси

не более 5% клетчатки

Требуется определить количество (в кг) каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

Таблица 1.3

Математическая формулировка задачи.

Введем следующие обозначения:

Х₁ – содержание известняка в смеси (кг);

Х₂ – содержание зерна в смеси (кг);

Х₃ – содержание соевых бобов в смеси (кг).

Общий вес смеси, еженедельно расходуемый на кормление цыплят:

20 000 ´ 0, 5 = 10 000 кг.

Ограничения, связанные с содержанием кальция, белка и клетчатки в кормовом рационе, имеют вид:

0, 38Х₁ + 0, 001Х₂ + 0, 002Х₃ 0, 008 ´ 10 000,

0, 09Х₂ + 0, 50Х₃ 0, 22 ´ 10 000,

0, 02Х₂ + 0, 08Х₃ 0, 05 ´ 10 000.

Окончательный вид математической формулировки задачи:

при ограничениях

Х₁ + Х₂ + Х₃ = 10 000

0.38Х₁ + 0.001Х₂ + 0.002Х₃ 80

0.09Х₂ + 0.50Х₃ 2200 (1.3)

0.02Х₂ + 0.08Х₃ 500

Х_j 0, j = 1, 2, 3.

Пример 1. 7. (задача о раскрое, или минимизации отходов (обрезков)). Продукция бумажной фирмы выпускается в виде бумажных рулонов стандартной ширины – по
2 метра. По специальным заказам потребителей фирма поставляет рулоны и других размеров, для чего производится разрезание стандартных рулонов. Типичные заказы на рулоны нестандартных размеров приведены в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Требуется найти такие сочетания различных вариантов разрезания стандартных рулонов, чтобы поступившие заказы полностью удовлетворить с

минимальными потерями (отходами). Рассмотрим все возможные варианты раскроя стандартного рулона и соответствующие данные сведем в табл. 1.5.

Определим переменные: Х_j – количество стандартных рулонов, разрезаемых по варианту j, j = 1, 2, …, 6.

Ограничения непосредственно связаны с требованием обеспечить изготовление требуемого количества нестандартных рулонов. Используя данные табл. 1.5, получим:

Таблица 1.5

2Х₂ + 2Х₃ + 4Х₄ + Х₅ = 150 – количество рулонов шириной 0, 5 м,

Х₁ + Х₂ + 2Х₅ = 200 – количество рулонов шириной 0, 7 м,

Х₁ + Х₃ + 2Х₆ = 300 – количество рулонов шириной 0, 9 м.

Выражение для суммарной величины потерь бумаги (отходы) (в м) имеет вид

0, 4Х₁ + 0, 3Х₂ + 0, 1Х₃ + 0, 1Х₅ + 0, 2Х₆

Таким образом, математическая модель в общем виде:

= 0, 4X₁ + 0, 3X₂ + 0, 1X₃ + 0, 1X₅ + 0, 2X₆

при ограничениях:

2X₂ + 2X₃ + 4X₄ + X₅ =150

X₁ + X₂ + 2X₅ = 200

X₁ + X₃ + 2X₆ = 300

X_j ≥ 0; X_j – целые; j = 1,..., 6.