![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теорема 2.24.
Если Доказательство. Пусть
Это означает, что все искусственные компоненты оптимального опорного плана т.е. и вектор Но тогда вектор При этом в процессе решения вспомогательной задачи симплексным методом могут представиться следующие два случая: 1. На S – й итерации симплексного метода ни одна из искусственных переменных не является базисной, т.е. 2. На S – й итерации симплексного метода в числе базисных оказались искусственные переменные, например, т.е. Тогда в силу равенства (2.90) p базисных компонент вектора и, следовательно, он является вырожденным оптимальным опорным планом вспомогательной задачи линейного программирования, а матрица Однако в этом случае матрицу Для этой цели рассмотрим любую r - ю строку из первых p строк матрицы Среди элементов Выберем этот элемент в качестве направляющего и совершим один шаг метода Жордана – Гаусса преобразования матрицы После p таких шагов метода Жордана – Гаусса матрица Очевидно, что этот опорный план будет вырожденным. Пусть теперь Предположим, что в рассматриваемом случае множество планов P´ основной задачи линейного программирования не пусто и существует вектор удовлетворяет ограничениям (2.86)-(2.88). Но тогда вектор Следовательно, Таким образом, решая вспомогательную задачу линейного программирования симплекс-методом, мы либо находим исходный опорный план основной задачи, либо убеждаемся, что множество планов P´ основной задачи линейного программирования пусто. После того, как найден исходный опорный план задачи линейного программирования, ее можно в принципе решать симплексным методом, т.е. практически решение основной задачи осуществляется в два этапа. Пример 2.13. Рассмотрим задачу
2X2+2X3+4X4+X5=150 X1+X2+2X5=200 (2) X1+X3+2X6=300
Так как ограничения (2) рассматриваемой ЗЛП уже имеют вид строгих равенств, то для приведения ее к каноническому виду достаточно только изменить знак функции Рассмотрим расширенную матрицу системы уравнений (2) Так как расширенная матрица не содержит единичной подматрицы порядка 3, то она не является К -матрицей ЗЛП и, следовательно, к задаче (2)-(4) не может быть применен симплекс-метод. Рассмотрим метод отыскания исходного опорного плана (К -матрицы)- метод искусcтвенного базиса. Для задачи (2)-(4) запишем ВЗ:
2X1+2X3+4X4+X5+U1=150 X1+X2+2X5+U2=200 (6) X1+X3+2X6+U3=300
Результаты первого этапа представлены в табл. 2.7
Таблица 2.7
На третьей итерации симплексного метода получен оптимальный план вспомогательной задачи: в котором ни одна из искусственных переменных не является базисной, следовательно, вектор На втором этапе решаем задачу max(-0.4X1-0.3X2-0.1X3-0.1X5-0.2X6)
Решение приведено в табл. 2.8. Таблица 2.8.
На первой итерации (табл. 2.8.) второго этапа получен оптимальный план исходной задачи Так как
Исходная задача имеет бесчисленное множество решений, задаваемое формулой Пример 2.14. Решить ЗЛП: max(2X1-X2-X4) X1-2X2+X3=10 -2X1-X2-2X4 3X1+2X2+X4 Приведем ЗЛП (9) к каноническому виду max(2X1-X2-X4) X1-2X2+X3=10 -2X1-X2-2X4- S1 =18 (10) 3X1+2X2+X4-S2 =36 Расширенная матрица системы линейных уравнений (10) не является К -матрицей ЗЛП (10), т.к. не содержит единичной подматрицы. Запишем вспомогательную задачу для ЗЛП (10). Т.к. матрица Итак, ВЗ имеет вид
X1-2X2+X3=10 -2X1-X2-2X4-X5+U1=18 (11) 3X1+2X2+X4-X6+U2=36
Решение ВЗ приведено в табл 2.9. Таблица 2.9
На первой итерации получен оптимальный план.
Т.к. вектор имеет отличную от нуля искусственную переменную U1=36, то множество планов ЗЛП (9) пусто в силу несовместности системы уравнений (10).
2.8. Модифицированный симплекс-метод
|