Задания для самостоятельного выполнения

1.Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.

2. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления.

3.Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления.

Перевод чисел из одной системы в другую (10-ое занятие)

Задание 1. Выполните указанные переводы из одной системы счисления в другую:

1. 
   670, 205₈ = Х₂;
2. 
   ЕА9, 016₁₆ = Х₁₀;
3. 
   1110101, 10100001₂ = Х₈;
4. 
   11011, 1010110101₂ = Х₁₆;
5. 
   АЕ17, 39ВС₁₆ = Х₂;
6. 
   370, 775₁₀ = Х₂;
7. 
   9802, 068₁₀ = Х₁₆;
8. 
   7943, 2408₁₀ = Х₈;
9. 
   1101101, 1011₂ = Х₁₀;
10. 
    145, 73₈ = Х₁₀;
11. 
    СF, D21₁₆ = Х₈;
12. 
    56, 47₈ = Х₁₆;
13. 
    571, 324₈ = Х₂;
14. 
    DЕ8, 104₁₆ = Х₁₀;
15. 
    1010111, 101011₂ = Х₈;
16. 
    100101, 110101₂ = Х₁₆;
17. 
    СВ23, 27АЕ₁₆ = Х₂;
18. 
    715, 930₁₀ = Х₂;
19. 
    6325, 503₁₀ = Х₁₆;
20. 
    9172, 3107₁₀ = Х₈;
21. 
    100001, 1011₂ = Х₁₀;
22. 
    176, 83₈ = Х₁₀;
23. 
    АF, Е32₁₆ = Х₈;
24. 
    62, 71₈ = Х₁₆;
25. 
    352, 715₈ = Х₂;
26. 
    АС6, 019₁₆ = Х₁₀;
27. 
    1010111, 10100001₂ = Х₈;
28. 
    1101001, 1010101₂ = Х₁₆;
29. 
    ВD17, 39АС₁₆ = Х₂;
30. 
    405, 572₁₀ = Х₂;
31. 
    2698, 803₁₀ = Х₁₆;
32. 
    2214, 3411₁₀ = Х₈;
33. 
    1111101, 10100₂ = Х₁₀;
34. 
    562, 37₈ = Х₁₀;
35. 
    АВ, 3D2₁₆ = Х₈;
36. 
    34, 65₈ = Х₁₆.

Вопросы и задания практической работы

Задание 1. Выполните арифметические действия в двоичной системе счисления, номера вариантов и задания к ним приведены в таблице

Задание 2. Переведите в десятичную систему счисления следующие числа из … системы счисления.

Задание 3. Переведите десятичные числа в заданные системы счисления.

Задание 4. Преобразуйте десятичные числа в двоичные и восьмеричные.

Задание 5. Преобразуйте двоичные числа в восьмеричные и десятичные.

Задание 6. Переведите в двоичную систему десятичные числа.

Арифметические действия с числами в машинных кодах (13-ое занятие)

Числовые данные обрабатываются в компьютере в двоичной системе счисления. Числа хранятся в оперативной памяти в виде последовательностей нулей и единиц, т.е. в двоичном коде.

Представление чисел в формате с фиксированной запятой. Целые числа в компьютере хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. В этом случае каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а запятая находится справа после младшего разряда, т.е. вне разрядной сетки.

Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 бит). Например, число A₂ = 10101010₂ будет хранится в ячейке памяти следующим образом:

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно:

2ⁿ - 1

Пример 1. Определить диапазон чисел, которые могут хранится в оперативной памяти в формате целое неотрицательное число.

Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми ячейках памяти, и равно нулю.

Максимальное число соответствует восьми единицам, хранящимся в ячейках памяти и равно:

A = 1E2⁷ +1E2⁶ +1E2⁵ + 1E2⁴ + 1E2³ + 1E2² + 1E2¹ + 1E2⁰ = 1E2⁸ – 1 = 255₁₀

Диапазон изменения целых неотрицательных чисел чисел от 0 до 255.

Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти (16 бит), причем старший (левый) разряд отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное записывается 1).

Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата «знак-величина» называется прямым кодом числа. Например, число 2002₁₀ = 11111010010₂ будет представлено в 16-ти разрядном представлении следующим образом:

При представлении целых чисел в n-разрядном представлении со знаком максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) равно:

A = 2^n-1 - 1

Пример 2. Определить максимальное положительное число, которое может хранится в оперативной памяти в формате целое число со знаком.

A₁₀ = 2¹⁵ – 1 = 32767₁₀

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие.

Дополнительный код представляет собой дополнение модуля отрицательного числа А до 0, поэтому в n-разрядной компьютерной арифметике:

2ⁿ - |A| + |A| ≡ 0

Это равенство тождественно справедливо, т.к. в компьютерной n-разрядной арифметике 2ⁿ ≡ 0. Действительно, двоичная запись такого числа состоит из одной единицы и n нулей, а в n-разрядную ячейку может уместиться только n младших разрядов, т.е. n нулей.

Примеры:

Дополнительный код для десятичных чисел[править

Пример 3. Записать дополнительный код отрицательного числа –2002 для 16-ти разрядного компьютерного представления.

Проведем вычисления в соответствии с определением дополнительного кода:

Проведем проверку с использованием десятичной системы счисления. Дополнительный код 63534₁₀ в сумме с модулем отрицательного числа 2002₁₀ равен 65536₁₀, т.е. дополнительный код дополняет модуль отрицательного числа до 2¹⁶ (до нуля 16-ти разрядной компьютерной арифметики).

Для получения дополнительного кода отрицательного числа можно использовать довольно простой алгоритм:

1.Модуль числа записать прямым кодом в n двоичных разрядах;

2.Получить обратный код числа, для этого значения всех бит инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы);

3.К полученному обратному коду прибавить единицу.
Пример 4. Записать дополнительный код отрицательного числа –2002 для 16-ти разрядного компьютерного представления с использованием алгоритма.

Пример 5. Определить диапазон чисел, которые могут хранится в оперативной памяти в формате больших целых чисел со знаком (для хранения таких чисел отводится четыре ячейки памяти - 32 бита).

Максимальное положительное целое число (с учетом выделения одного разряда на знак) равно:

A = 2³¹ – 1 = 2 147 483 647₁₀

Минимальное отрицательное целое число равно:

A = -2³¹ = -2 147 483 648₁₀

Достоинствами представления чисел в формате с фиксированной запятой являются простота и наглядность представления чисел, а также простота алгоритмов реализации арифметических операций (вычитание благодаря использованию дополнительного кода для представления отрицательных чисел сводится к сложению).

Пример 6. Выполнить арифметическое действие 3000₁₀ - 5000₁₀ в 16-ти разрядном компьютерном представлении.

Представим положительное число в прямом, а отрицательное число в дополнительном коде:

Сложим прямой код положительного числа с дополнительным кодом отрицательного числа. Получим результат в дополнительном коде:

Переведем полученный дополнительный код в десятичное число:

1) Инвертируем дополнительный код: 0000011111001111

2) Прибавим к полученному коду 1 и получим модуль отрицательного числа:

⁺ 0000000000000001

3) Переведем в десятичное число и припишем знак отрицательного числа: -2000.

Недостатком представления чиселв формате с фиксированной запятой является конечный диапазон представления величин, недостаточный для решения математических, физических, экономических и других задач, в которых используются как очень малые, так и очень большие числа.

Представление чисел в формате с плавающей запятой. Вещественные числа (конечные и бесконечные десятичные дроби) хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться.

Формат чисел с плавающей запятой базируется на экспоненциальной форме записи, в которой может быть представлено любой число. Так число А может быть представлено в виде:

где m – мантисса числа

q – основание системы счисления,

n – порядок числа.

Для однозначности представления чисел c плавающей запятой используется нормализованная форма, при которой мантисса отвечает условию:

1/n ≤ |m| < 1.

Это означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля.

Пример 7. Преобразуйте десятичное число 888, 888, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой.

888, 888 = 0, 888888× 10³

Нормализованная мантисса m = 0, 888888, порядок n = 3.

Число в форме с плавающей запятой занимает в памяти компьютера четыре (число обычной точности) или восемь байт (число двойной точности). При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Диапазон изменения чисел определяется количеством разрядов, отведенных для хранения порядка числа, а точность (количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы.

Пример 8. Определить максимальное число и его точность для формата чисел обычной точности, если для хранения порядка и его знака отводится 8 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака 24 разряда.

Максимальное значение порядка числа составит 1111111₂ = 127₁₀, и, следовательно, максимальное значение числа составит:

2¹²⁷ = 1, 7014118346046923173168730371588× 10³⁸

Точность вычислений определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы чисел. Максимальное значение положительной мантиссы равно:

2²³ - 1 ≈ 2²³ = 2^{(10х2, 3)} ≈ 1000^{2, 3} = 10^{(3х2, 3)} ≈ 10⁷

Таким образом максимальное значение чисел обычной точности с учетом возможной точности вычислений составит 1, 701411× 10³⁸ (количество значащих цифр десятичного числа в данном случае ограничено 7 разрядами).

При сложении и вычитании чисел в формате с плавающей запятой сначала производится подготовительная операция выравнивания порядков. Порядок меньшего (по модулю) числа увеличивается до величины порядка большего (по модулю) числа. Для того чтобы величина числа не изменилась, мантисса уменьшается в такое же количество раз (сдвигается в ячейке памяти вправо на количество разрядов, равное разности порядков чисел).

После выполнения операции выравнивания одинаковые разряды чисел оказываются расположенными в одних и тех же разрядах ячеек памяти. Теперь операции сложения и вычитания чисел сводятся к сложению или вычитанию мантисс.

После выполнения арифметической операции для приведения полученного числа к стандартному формату с плавающей запятой производится нормализация, т.е. мантисса сдвигается влево или вправо так, чтобы ее первая значащая цифра попала в первый разряд после запятой.

Пример 9. Произвести сложение чисел 0, 1× 2³ и 0, 1× 2⁵ в формате с плавающей запятой.

Произведем выравнивание порядков и сложение мантисс:

0, 001× 2⁵

⁺0, 100× 2⁵

0, 101× 2⁵

При умножении чисел в формате с плавающей запятой порядки складываются, а мантиссы перемножаются. При делении из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя.

Пример 10. Произвести умножение чисел 0, 1× 2³ и 0, 1× 2⁵ в формате с плавающей запятой.

После умножения будет получено число 0, 01× 2⁸, которое после нормализации примет вид 0, 1× 2⁷.