Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Идентификация закона распределения случайных величин подлежащих моделированию
|
|
На основе исследования случайных величин делаем предположения, что наиболее вероятный закон распределения - нормальный, поскольку случайная величина зависит от большого числа взаимно
независимых случайных факторов, причем воздействие каждого фактора незначительно.
Моделирование значений случайных величин производится при числе итераций, равным 100.
Случайная величина «Количество клиентов»
Эмпирическое распределение случайной величины
| Номер | Нижняя граница Xi | Верхняя граница Xi+1 | Частота | Частость | Центр интервала | Среднее выборочное | Отклонение от среднего | Квадрат отклонения | Дисперсия | |
| 2, 125 | 0, 10 | 1, 56 | 0, 16 | -4, 15 | 17, 23 | 1, 72 | ||||
| 2, 125 | 3, 25 | 0, 11 | 2, 69 | 0, 30 | -3, 03 | 9, 16 | 1, 01 | |||
| 3, 25 | 4, 375 | 0, 15 | 3, 81 | 0, 57 | -1, 90 | 3, 61 | 0, 54 | |||
| 4, 375 | 5, 5 | 0, 21 | 4, 94 | 1, 04 | -0, 78 | 0, 60 | 0, 13 | |||
| 5, 5 | 6, 625 | 0, 17 | 6, 06 | 1, 03 | 0, 35 | 0, 12 | 0, 02 | |||
| 6, 625 | 7, 75 | 0, 14 | 7, 19 | 1, 01 | 1, 47 | 2, 17 | 0, 30 | |||
| 7, 75 | 8, 875 | 0, 07 | 8, 31 | 0, 58 | 2, 60 | 6, 75 | 0, 47 | |||
| 8, 875 | 0, 05 | 9, 44 | 0, 47 | 3, 72 | 13, 87 | 0, 69 | ||||
| Итого | 100, 00 | 5, 15 | 4, 89 |
Результатом вычислений, приведенных в данной таблице, является нахождение дисперсии распределения D(x), нахождение выборочной средней Xв. Дисперсия рассчитывается по формуле:
В данном случае дисперсия равна – 4, 89.
Выборочная средняя рассчитывается по формуле:
где, Wi – частость, а X0i – центр интервала.
Рассчитав по этой формуле показатель, получили его = 5, 15.
Среднее квадратичное отклонение рассчитывается по формуле:
где, D(x) – дисперсия распределения. СКО =3, 12.
Для более наглядного представления построим гистограмму распределения заданной случайной величины. Она также позволяет сделать вывод о возможном нормальном законе распределения случайной величины.
Для проверки данной гипотезы воспользуемся критерием согласия Пирсона (или критерием χ 2). При этом необходимо найти наблюдаемое значение данного критерия (χ 2набл.) и сравнить его с значением из таблицы при заданном количестве степеней свободы и уровне значимости (χ 2крит.).
где Мi – эмпирические частоты распределения, N – число наблюдений, Pi – теоретические вероятности попадания значений сл.величины в заданные интервалы, S – число интервалов, построенным по данным выборки.
Вычислим теоретические вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины
| Xi-Xcp | Xi+1-Xcp | Zi | Zi+1 | Ф(zi) | Ф(zi+1) | Pi=Фzi+1-Фzi |
| -4, 15 | -3, 03 | -1, 877212455 | -1, 3684828 | 0, 03024 | 0, 08558056 | 0, 055336134 |
| -3, 03 | -1, 90 | -1, 368482793 | -0, 8597531 | 0, 08558 | 0, 194962522 | 0, 109381963 |
| -1, 90 | -0, 78 | -0, 85975313 | -0, 3510235 | 0, 19496 | 0, 362785432 | 0, 16782291 |
| -0, 78 | 0, 35 | -0, 351023467 | 0, 1577062 | 0, 36279 | 0, 562655853 | 0, 199870421 |
| 0, 35 | 1, 47 | 0, 157706195 | 0, 6664359 | 0, 56266 | 0, 747433796 | 0, 184777942 |
| 1, 47 | 2, 60 | 0, 666435858 | 1, 1751655 | 0, 74743 | 0, 880035691 | 0, 132601896 |
| 2, 60 | 3, 72 | 1, 175165521 | 1, 6838952 | 0, 88004 | 0, 953899063 | 0, 073863372 |
| 3, 72 | 4, 85 | 1, 683895184 | 2, 1926248 | 0, 9539 | 0, 98583284 | 0, 031933777 |
Далее вычисляем наблюдаемое значение
| Номер | Частоты ni | Pi | n'i=n*Pi | ni-ni' | (ni-n'i)^2 | (ni-n'i)^2/n'i |
| 0, 0553 | 5, 5336 | 4, 4664 | 19, 9486 | 3, 60499 | ||
| 0, 1094 | 10, 9382 | 0, 0618 | 0, 0038 | 0, 00035 | ||
| 0, 1678 | 16, 7823 | -1, 7823 | 3, 1766 | 0, 18928 | ||
| 0, 1999 | 19, 9870 | 1, 0130 | 1, 0261 | 0, 05134 | ||
| 0, 1848 | 18, 4778 | -1, 4778 | 2, 1839 | 0, 11819 | ||
| 0, 1326 | 13, 2602 | 0, 7398 | 0, 5473 | 0, 04128 | ||
| 0, 0739 | 7, 3863 | -0, 3863 | 0, 1493 | 0, 02021 | ||
| 0, 0319 | 3, 1934 | 1, 8066 | 3, 2639 | 1, 02208 | ||
| хи-кв. набл. | 5, 04771 | |||||
| хи-кв. кр. | 12, 59158 |
Используя таблицу критических точек распределения 
, найдем критическое значение. Если 
< 
нет оснований отвергать гипотезу о предполагаемом законе распределения, если же > , основная гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза, и исследования проводятся дальше.
Выдвинутая нами гипотеза о нормальном законе распределения принимается, так как: <
= 3, 97 < = 12, 59
Следовательно, можно сделать вывод о том, что исследуемая случайная величина- среднее количество клиентов - подчиняется нормальному закону распределения.
Случайная величина «Время на составление проекта»
Эмпирическое распределение случайной величины
| Номер | Нижняя граница Xi | Верхняя граница Xi+1 | Частота | Частость | Центр интервала | Среднее выборочное | Отклонение от среднего | Квадрат отклонения | Дисперсия | |
| 19, 125 | 0, 02 | 15, 56 | 0, 31 | -29, 36 | 861, 72 | 17, 23 | ||||
| 19, 125 | 26, 25 | 0, 13 | 22, 69 | 2, 95 | -22, 23 | 494, 17 | 64, 24 | |||
| 26, 25 | 33, 375 | 0, 16 | 29, 81 | 4, 77 | -15, 11 | 228, 16 | 36, 51 | |||
| 33, 375 | 40, 5 | 0, 20 | 36, 94 | 7, 39 | -7, 98 | 63, 68 | 12, 74 | |||
| 40, 5 | 47, 625 | 0, 17 | 44, 06 | 7, 49 | -0, 86 | 0, 73 | 0, 12 | |||
| 47, 625 | 54, 75 | 0, 12 | 51, 19 | 6, 14 | 6, 27 | 39, 31 | 4, 72 | |||
| 54, 75 | 61, 875 | 0, 11 | 58, 31 | 6, 41 | 13, 40 | 179, 43 | 19, 74 | |||
| 61, 875 | 0, 09 | 65, 44 | 5, 89 | 20, 52 | 421, 07 | 37, 90 | ||||
| Итого | 100, 00 | 41, 36 | 193, 19 |
Результатом вычислений, приведенных в данной таблице, является нахождение дисперсии распределения D(x), нахождение выборочной средней Xв. Дисперсия рассчитывается по формуле:
В данном случае дисперсия равна – 193, 19.
Выборочная средняя рассчитывается по формуле:
где, Wi – частость, а X0i – центр интервала.
Рассчитав по этой формуле показатель, получили его = 41, 36
Среднее квадратичное отклонение рассчитывается по формуле:
где, D(x) – дисперсия распределения. СКО =13, 9
Для более наглядного представления построим гистограмму распределения заданной случайной величины. Она также позволяет сделать вывод о возможном нормальном законе распределения случайной величины.
Для проверки данной гипотезы воспользуемся критерием согласия Пирсона (или критерием χ 2). При этом необходимо найти наблюдаемое значение данного критерия (χ 2набл.) и сравнить его с значением из таблицы при заданном количестве степеней свободы и уровне значимости (χ 2крит.).
где Мi – эмпирические частоты распределения, N – число наблюдений, Pi – теоретические вероятности попадания значений сл.величины в заданные интервалы, S – число
интервалов, построенным по данным выборки.
Вычислим теоретические вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины
| Xi-Xcp | Xi+1-Xcp | Zi | Zi+1 | Ф(zi) | Ф(zi+1) | Pi=Фzi+1-Фzi |
| -29, 36 | -22, 23 | -2, 111959797 | -1, 5993482 | 0, 01734 | 0, 054871626 | 0, 037526739 |
| -22, 23 | -15, 11 | -1, 599348196 | -1, 0867366 | 0, 05487 | 0, 138576655 | 0, 083705029 |
| -15, 11 | -7, 98 | -1, 086736595 | -0, 574125 | 0, 13858 | 0, 282941568 | 0, 144364913 |
| -7, 98 | -0, 86 | -0, 574124993 | -0, 0615134 | 0, 28294 | 0, 475475105 | 0, 192533536 |
| -0, 86 | 6, 27 | -0, 061513392 | 0, 4510982 | 0, 47548 | 0, 674040595 | 0, 198565491 |
| 6, 27 | 13, 40 | 0, 451098209 | 0, 9637098 | 0, 67404 | 0, 832404291 | 0, 158363696 |
| 13, 40 | 20, 52 | 0, 96370981 | 1, 4763214 | 0, 8324 | 0, 930071152 | 0, 09766686 |
| 20, 52 | 27, 65 | 1, 476321412 | 1, 988933 | 0, 93007 | 0, 976645771 | 0, 04657462 |
Далее вычисляем наблюдаемое значение
| Номер | Частоты ni | Pi | n'i=n*Pi | ni-ni' | (ni-n'i)^2 | (ni-n'i)^2/n'i |
| 0, 0375 | 3, 7527 | -1, 7527 | 3, 0719 | 0, 81858 | ||
| 0, 0837 | 8, 3705 | 4, 6295 | 21, 4322 | 2, 56045 | ||
| 0, 1444 | 14, 4365 | 1, 5635 | 2, 4446 | 0, 16933 | ||
| 0, 1925 | 19, 2534 | 0, 7466 | 0, 5575 | 0, 02895 | ||
| 0, 1986 | 19, 8565 | -2, 8565 | 8, 1599 | 0, 41094 | ||
| 0, 1584 | 15, 8364 | -3, 8364 | 14, 7177 | 0, 92936 | ||
| 0, 0977 | 9, 7667 | 1, 2333 | 1, 5211 | 0, 15574 | ||
| 0, 0466 | 4, 6575 | 4, 3425 | 18, 8576 | 4, 04891 | ||
| хи-кв. набл. | 9, 12227 | |||||
| хи-кв. кр. | 12, 59158 |
Используя таблицу критических точек распределения , найдем критическое значение. Если < нет оснований отвергать гипотезу о предполагаемом законе распределения, если же > , основная гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза, и исследования проводятся дальше.
Выдвинутая нами гипотеза о нормальном законе распределения принимается, так как: <
= 3, 97 < = 12, 59
Следовательно, можно сделать вывод о том, что исследуемая случайная величина- среднее количество клиентов - подчиняется нормальному закону распределения.