Проверка решения задачи

В начальных классах методисты рекомендуют пять способов осуществления проверки правильности решения задачи [1, 22].

1)Установление соответствия полученного результата условию задачи.

При проверке решения задачи этим способом выполняют арифметические действия над числами, которые получатся в ответе на вопрос задачи; если при этом получатся числа, данные в условии задачи, то можно считать, что задача решена правильно.

Рассмотрим применение этого способа для проверки решения следующей задачи: «В первый ларёк привезли 6 ящиков апельсинов, а во второй 4 таких же ящика. Сколько килограммов апельсинов привезли в каждый ларёк, если всего привезли 90 кг?».

В результате решения этой задачи ученики найдут, что в первый ларёк привезли 54 кг апельсинов, а во второй - 36 кг апельсинов. Для проверки правильности решения надо установить, будет ли в двух ларьках 90 кг. Проверяем 54+36=90 (кг). Число, полученное в ответе соответствует данному. Значит, можно считать, что задача решена правильно. Этот способ проверки используется, начиная со второго класса. Его целесообразно применять для проверки решения задач такой структуры, в которых можно получить числа, данные в задаче, путём выполнения соответствующих арифметических действий над числами, полученными в ответе (задачи на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям и др.).

2) Составление и решение обратной задачи.

В этом случае детям предлагается составить и решить задачу, обратную по отношению к данной задаче. Если при решении обратной задачи в результате получится число, которое было известно в данной задаче, то можно считать, что задача решена правильно.

Этот способ вводится во втором классе, лишь бы обратная задача была посильна детям. В связи с этим детям надо указывать, какое число можно брать искомым в обратной задаче. Безусловно, не надо решение всех задач проверять способом составления обратной задачи: он очень громоздок, труден, решение обратной задачи может оказаться труднее данной.

Однако, во многих случаях очень полезны сами упражнения в составлении и решении обратных задач, поскольку они помогают уяснить связи между данными задачи. В связи с этим целесообразно проверять этим способом решение всех простых задач, задач на нахождение четвёртого пропорционального, задач, в которых находится сумма, разность или частное двух произведений и других задач.

3) Решение задачи другим способом.

Если задачу можно решить другим способом, то полученные в обоих способах одинаковые результаты подтверждают правильность решения задачи.

4) Прикидка ответа (установление соответствия искомого числа области своих значений).

Применение этого способа состоит в том, что до решения задачи устанавливается область значений искомого числа, т.е. устанавливается, больше или меньше какого-то из данных чисел должно быть искомое число. После решения задачи определяется, соответствует ли полученный результат установленной области значений, если он не соответствует установленным границам, значит, задача решена неправильно.

Пусть надо проверить способом прикидки решение задачи: «После того как с аэродрома улетело 8 вертолётов, там осталось 3 вертолёта. Сколько всего вертолётов было на аэродроме?»

До решения задачи выясняется, что всего вертолётов было больше, чем улетело. Если ученик ошибётся и получит в ответе, например, число 6 (вероятная ошибка), то сразу же заметит, что задача решена неправильно.

Как видим, этот способ помогает заметить ошибочность решения, но не исключает других способов проверки решения.

Вводится этот способ в первом классе. Пользуясь им, проверяют решение простых, а также составных арифметических задач.

5) По мнению С.Е. Царёвой, все перечисленные способы проверки имеют общий недостаток - каждый из них направлен на проверку конечного результата и в абсолютном большинстве случаев не даёт возможности обнаружить ошибки в ходе решения, если они были допущены. Эти недостатки в определённой мере способствуют тому, что в практике обучения, особенно при самостоятельном решении задачи, такие способы проверки используются редко. С.Е. Царёва предлагает использовать проверку решения задачи путём определения смысла составленных по задаче выражений (действий) и последующей проверке правильности вычислений [22].

Приведём образец полного рассуждения при проверке решения задачи рассматриваемым приёмом.

Задача. Пионеры собрали с участка 100 кг моркови. В ящики они уложили 36 кг моркови, а остальную морковь в корзины, по 16 кг в каждую. Сколько потребовалось корзин?

Решение первого ученика:

1) 36-16=20(кг),

2) 100: 20 = 5 (к.).

Ответ: потребовалось 5 корзин.

Решение второго ученика:

1) 100-36=64 (кг),

2) 64: 16=4 (к.).

Ответ: потребовалось 4 корзины.

Проверка первого решения:

Читаю выражение в первом действии: разность 36 и 16. Нахожу в тексте задачи, что обозначают числа 36 и 16. 36 - столько килограммов моркови уложили в ящики, 16 - столько килограммов моркови укладывали в одну корзину. Этим действием я узнал, на сколько больше моркови уложили в ящики, чем в одну корзину. Это в задаче не спрашивается, такое действие не нужно было выполнять. По данным 36 кг и 16 кг ничего, что нужно для решения задачи, узнать нельзя. Нужно брать другие данные, например, 100 кг и 36 кг.

Продолжается поиск нового решения задачи.

Проверка второго решения:

Читаю выражение в первом действии: разность 100 - 36. Нахожу в тексте задачи, что обозначают эти числа. 100 - столько килограммов моркови собрали с участка, 36 - столько килограммов моркови из собранной уложили в ящики. Разность 100 и 36, а также результат 64 будут показывать, сколько килограммов моркови уложили в корзины.

Читаю выражение во втором действии: частное 64 и 16. Выясняю, что обозначает каждое число в этом выражении: 64 - результат первого действия, он показывает, сколько килограммов моркови уложили в корзины, 16 - столько килограммов моркови укладывали в одну корзину. Частное 64 и 16 будет показывать, сколько потребуется корзин, чтобы разложить 64 кг моркови.

Второе действие - последнее в записи решения. Читаю вопрос задачи: «Сколько потребовалось корзин?». В вопросе задачи и спрашивается о том, что мы нашли в последнем действии. Следовательно, действия при решении задачи выбраны правильно.

Проверяем вычисления. 100-36=100-30-6=64 - верно; 64: 16 (подберу такое число, при умножении 16 на которое получится 64, 16•4=64. Второе действие тоже выполнено верно).

Так как при решении задачи правильно выбраны арифметические действия и правильно выполнены вычисления, то задача решена верно. Правильный ответ на вопрос задачи: потребовалось 4 корзины [22].

Можно согласиться с С.Е. Царёвой, что обучение описанному способу проверки важно не только для формирования у учащихся умения проверять решение, но и для формирования умения выбирать арифметические действия, так как при хорошем владении этим приёмом контроль решающим может проводиться уже не после завершения решения, а после выбора каждого действия.

Закрепление умения решать задачи
рассматриваемого вида

Цель работы на третьей ступени формирования умения решать задачи определённого вида - сформировать у учащихся умение решать арифметические задачи с определённой связью между данными и искомым, обобщить способ решения задач этой группы.

Работа над обобщением способа решения задач не должна подменяться работой по запоминанию способа решения, в результате которой ученик узнаёт задачу знакомого вида и вспоминает порядок выполнения действий при её решении: сначала сложу, потом разделю и т.д. [1].

Выделим условия, реализация которых позволит достичь целей третьей ступени.

1. Решение ряда аналогичных задач, отличающихся конкретным содержанием и усложняющихся за счёт ситуаций, описанных в задачах, чисел в них, увеличения числа действий, которыми решается задача, путём включения новых связей между данными и искомым.

2. Решение достаточного числа задач. Задачи рассматриваемого вида включаются не подряд, а рассредоточено: сначала включаются чаще, а потом всё реже и реже в перемежении с другими видами.

3. Управление деятельностью школьника.

На первой стадии ступени закрепления ученик в плане внешней громкой речи выполняет все операции деятельности по решению задачи (Задание ученику: рассуждай вслух полно.) На этой стадии ученик должен усвоить все операции деятельности по решению задач данного вида (типа).

Вторая стадия - стадия частичного свёртывания выполнения системы операций. Вспомогательные операции ученик выполняет про себя, основные вслух (Задание ученику: решай, рассуждай вслух кратко.).

Третья стадия - стадия полного свёртывания выполнения системы операций (Задание ученику: решай, рассуждай про себя кратко.).

4. Индивидуальный подход к учащимся.

Овладение умением решать задачи определённого вида наступает не у всех детей одновременно. Так, одна группа детей уже на первых уроках, предназначенных для обобщения способа решения задач рассматриваемого вида, может, читая задачу, сразу же установить соответствующие связи и правильно выбрать действия. Другая группа детей решит задачу после того, как выполнит краткую запись или чертёж. В это время третья группа может решить задачу только после соответствующего разбора под руководством учителя.

Учитывая это, важно создать такие условия, при которых каждый из детей будет работать в меру своих возможностей. Это достигается путём предъявления различных требований к разным группам учащихся. Практически такой дифференцированный подход реализуется по-разному.

Например, можно предложить всем детям прочитать одну и ту же задачу, затем спросить, кто из них знает, как решать задачу. Тем ученикам, которые утвердительно ответили на этот вопрос, предлагается составить самостоятельно план решения и выполнить решение. Остальным - выделить данные, искомое, выполнить иллюстрацию; после этого опять-таки можно спросить, кто теперь знает, как решать задачу. Ещё часть детей включается в самостоятельное решение задачи. С остальными учащимися по памятке выполняется разбор задачи под руководством учителя, который заканчивается составлением плана решения. Решение задачи предлагается записать самостоятельно. Ученики, справившиеся с решением раньше других, получают дополнительные задания.

Возможен и такой вариант: для самостоятельной работы предлагается несколько задач рассматриваемого вида, но разной трудности.

Причём задачи подбираются с таким расчётом, чтобы каждый ученик мог решить лёгкую задачу, что служило бы подготовкой к самостоятельному решению более трудной задачи. Например, предлагается такая пара задач:

1) С трёх яблонь собрали 310 кг яблок. С первой яблони 120 кг, со второй 90 кг. Сколько килограммов яблок собрали с третьей яблони?

2) С трёх яблонь собрали 240 кг яблок. С первой яблони собрали 96 кг, со второй 1/4 того, что собрали с первой яблони. Сколько килограммов яблок собрали с третьей яблони?

Учитель говорит детям, что вторая задача труднее первой, но можно всем попробовать её решить. Те дети, которые не смогут решить эту задачу, пусть сначала решат первую, а потом им легко будет решить и вторую.

В целях обобщения способа решения время от времени имеет смысл проводить элементарное исследование решения задачи.

Это установление условий, при которых задача имеет или не имеет решения, имеет одно или несколько решений, а также установление условий изменения значения одной величины в зависимости от изменения другой.

Например, учащимся предлагается подобрать пропущенные числа в задаче и решить её: «Сестре... лет, а брат на... года моложе. Сколько лет брату?». Проводится беседа:

- Каким действием будете решать задачу? (Вычитанием.)

- Что надо учитывать при подборе первого числа?

- Что надо учитывать при подборе второго числа? (Оно должно быть меньше первого.)

- Теперь подберите числа и прочитайте задачу. (Сестре 9 лет, а брат на 2 года моложе. Сколько лет брату?)

- Решите задачу.

- Может ли второе число равняться 9? 10?

- Рассмотрим ещё такой пример. Дети решили задачу: «Из Москвы и из Санкт-Петербурга одновременно навстречу друг другу вышли два скорых поезда. Скорость московского поезда 112 км в час, санкт-петербургского - 105 км в час. Расстояние между городами 651 км. Какое расстояние пройдёт каждый поезд до встречи?». После решения задачи можно провести такую беседу:

- При каких условиях поезда могли встретиться на середине пути? (Если бы они шли с одинаковой скоростью или если бы санкт-петербургский поезд вышел раньше московского.)

- При каких условиях поезда могли встретиться ближе к Москве? (Если бы московский поезд шёл с меньшей скоростью, чем петербургский или если бы московский поезд вышел позднее петербургского.)

- Если после встречи поезда продолжат свой путь, то который из них затратит больше времени для прохождения остального пути? (Петербургский, потому что скорость у него меньше, а оставшийся путь больше, чем оставшийся у московского поезда.)

- При каких условиях в этом случае поезда затратили бы одинаковое время на прохождение остального пути? (Если бы петербургский поезд пошёл со скоростью московского, а московский - со скоростью петербургского, или если бы петербургский поезд увеличил скорость, или если бы московский поезд уменьшил скорость.).

Такие вопросы могут ставить и сами дети.

5) Сравнение решений задач рассматриваемого вида и ранее изученных видов, но сходных в каком-то отношении с задачами нового вида. Выполнение таких заданий позволяет предупредить смешение способов решения задач этих видов. Например, следует проводить сравнение задач на увеличение числа в несколько раз и увеличение числа на несколько единиц.

6) Выполнение заданий творческого характера. К ним относится решение задач повышенной трудности, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, решение задач, имеющих несколько решений, составление и преобразование задач.

К задачам повышенной трудности относят такие задачи, в которых связи между данными и искомыми выражены необычно, например: «Одно число уменьшили на 4, второе число уменьшили на 5. На сколько уменьшили два числа вместе?». Эта задача на нахождение суммы, но каждое слагаемое является разностью.

К задачам повышенной трудности относятся также задачи, вопрос которых сформулирован нестандартно, например: «Можно ли из 12 м сшить 3 платья и блузку, если на одно платье идёт 3 м, на блузку - 2 м?». Здесь вопрос задачи требует не нахождения значения величины, а сравнения чисел, но для этого необходимо решить задачу с другим вопросом: «Сколько метров ткани потребуется для пошива 3 платьев и блузки?».

Решение задач повышенной трудности помогает выработке у детей вдумчивого отношения к содержанию и поиску решения задачи. Такие задачи нужно предлагать в любом классе.

Поиск различных способов решения задач приводит детей к «открытию» новых связей между данными и искомым, а также к использованию уже известных связей, но в новых условиях.

Работа над задачами с недостающими данными и лишними данными воспитывает у детей привычку к более внимательному осмыслению связей между данными и искомым.

Чрезвычайно эффективным средством для обобщения способа решения задач являются упражнения по их составлению и преобразованию.

Укажем основные виды таких упражнений [1].

1. Постановка вопроса к данному условию задачи или изменение данного вопроса.

Такие упражнения помогают обобщению знаний о связях между данными и искомым, так как при выполнении такой деятельности дети устанавливают, что можно узнать по определённым данным. Например, школьникам предлагается поставить различные вопросы к условию задачи: «У малышей детского сада было 20 красных мячей и 10 зелёных». Учащиеся могут поставить вопросы: Сколько всего мячей у малышей? На сколько красных мячей больше, чем зелёных? Во сколько раз красных мячей больше, чем зелёных?

Во многих случаях целесообразно сделать некоторые ограничения. Например, предложить поставить вопрос так, чтобы задача решалась указанным действием, одним действием, двумя действиями и т.д.

После решения некоторых задач полезно предложить детям изменить вопрос задачи. Например, пусть ученики решили задачу: «Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из Москвы и Киева. Московский поезд проходил 68 км в час, а киевский 75 км в час. Через сколько часов поезда встретятся, если расстояние от Москвы до Киева 858 км?». После решения задачи можно предложить изменить вопрос так, чтобы спрашивалось о расстоянии. Учащиеся могут поставить такие вопросы: На каком расстоянии от Москвы (Киева) произошла встреча? Какое расстояние прошёл каждый поезд до встречи? Какое расстояние надо пройти каждому поезду после встречи до места назначения? На сколько километров больше прошёл до встречи киевский поезд и т.д.

2. Составление задачи по данному вопросу.

Представляют интерес такие вопросы, для составления задач по которым нужно выполнить некоторые практические работы: составьте задачу, в которой надо узнать площадь пола вашей комнаты; количество требуемой для его покраски краски; количество обоев, необходимых для оклеивания комнаты и т.д.

Для составления таких задач полезно, чтобы ученики использовали свои блокноты-справочники, в которых они записывали числовые данные, взятые из детских газет и журналов, передач по радио и телевидению, из бесед с родителями, а также получая данные непосредственно (проводя наблюдения, измерения и др.). На отдельных страницах блокнота дети записывают данные о своём классе, школе, посёлке, городе, области, интересные данные о жизни животных, о растениях, значения некоторых величин и др.

3. Подбор числовых данных или их изменение.

Эти упражнения служат главным образом целям знакомства учащихся с реальными количественными отношениями. Например, учащимся предлагается полный текст задачи с пропущенными числовыми данными: «На... одинаковых платьев пошло... метров ткани. На сколько платьев хватит... метров такой же ткани?». Учащиеся устанавливают, какие числовые данные можно задать сразу, а какие получить путём вычислений: сразу можно задать количество платьев, а расход ткани на все платья можно получить путём вычисления, имея ввиду ещё одно число, которое в задачу не включается - расход ткани на одно платье.

Особый интерес представляет выполнение заданий по замене одних числовых данных другими, но так, чтобы задачу можно было решить другим способом. Например, учащиеся решили задачу: «На дворе играли 5 девочек и 2 мальчика. Сколько детей осталось играть после того, как трое детей ушли?». После решения такой задачи учитель предлагает изменить числовые данные так, чтобы задача решалась другим способом (изменить число мальчиков на большее или число ушедших детей на меньшее).

4. Составление задач по аналогии.

Составление учащимися аналогичных задач помогает установлению общих связей между данными и искомым при разных жизненных ситуациях. Аналогичные задачи надо составлять после решения данной готовой задачи, предлагая при этом, когда возможно, изменять не только сюжет и числа, но и величины. Например, если учащиеся четвёртого класса решали задачу с величинами цена, количество, стоимость, можно предложить составить похожую задачу, но с величинами скорость, время, расстояние.

5. Составление обратных задач.

6. Составление задач по их иллюстрациям.

Прежде чем предлагать детям составить задачу по той или иной иллюстрации, необходимо проанализировать эту ситуацию, т.е. провести беседу и выяснить, понимают ли дети, что изображено, что обозначают данные числа, что надо узнать.

7. Составление задач по данному решению.

Предлагая составить задачу, надо сначала выполнить анализ данного решения задачи. В отдельных случаях целесообразно подсказать детям сюжет или же назвать величины. Например, предлагая учащимся второго класса составить задачу по выражению (15: 5)•4, учитель сообщает, что в задаче будет идти речь о величинах цена, количество, стоимость.

8. Преобразование данных задач в задачи родственных им видов. К задачам родственных видов относятся задачи, в которых величины связаны одинаковой зависимостью. Например, родственными будут задачи на нахождение четвёртого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям, так как в них величины связаны пропорциональной зависимостью.