![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Числовые последовательностиСтр 1 из 4Следующая ⇒
Федеральное агентство по образованию Воронежский государственный университет Математический анализ Числовые последовательности. Предел числовой последовательности Учебно-методическое пособие по специальности 071900 «Информационные системы и технологии» Для студентов 1 курса очной формы обучения (издание второе переработанное и дополненное) Воронеж - 2008
Аннотация издания Пособие является переработанным и дополненным изданием выпущенного в 2006 году одноименного учебно-методического пособия, созданного на основе опыта преподавания курса математического анализа на факультете компьютерных наук ВГУ. В него включен материал, относящийся к темам «Числовые последовательности» и «Предел числовой последовательности». Каждый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи для самостоятельной работы. В пособии приведены варианты заданий, предлагавшихся на второй рубежной аттестации аттестации.
Рекомендовано научно-методическим советом математического факультета ВГУ
Авторы: к.ф-м.н, доцент Сергей Анатольевич Скляднев; ассистент Светлана Вячеславовна Писарева
Научный редактор: д.ф-м.н, профессор Владимир Алексеевич Костин
Рецензент: д.ф-м.н, профессор Александр Васильевич Лобода
Редактор: О.А. Тихомирова
Ó С.А. Скляднев, С.В. Писарева
Ó Воронежский государственный университет Числовые последовательности
СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1.1 Определение числовой последовательности Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3,..., Числа Последовательности Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным, например, множество значений последовательности Последовательность может быть задана с помощью формулы вида
Формулу, выражающую
называют формулой общего члена последовательности. Для задания последовательности используют и рекуррентные формулы, т.е. формулы, выражающие
где a, b, c - заданные числа. Последовательность 1.2 Ограниченные последовательности Последовательность
Число Последовательность
Число Последовательность
Это определение равносильно следующему: последовательность
Следовательно, последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничено множество ее значений. Последовательность
Аналогично формулируется определение неограниченной сверху (снизу) последовательности. 1.3 Точные грани последовательностей Число m называют точной нижней гранью (или инфимумом) множества членов последовательности 1). 2). Число M называют точной верхней гранью (или супремумом) множества членов последовательности 1) 2) Член Наибольший (соответственно наименьший) член последовательности называют также максимальным (соответственно минимальным). Если существует Из существования 1.4 Монотонные последовательности Последовательность Последовательность Невозрастающую или неубывающую, начиная с номера Последовательность, возрастающую с номера
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Дана формула общего члена последовательности Написать пять первых членов этой последовательности. Решение. Подставляя последовательно значения
Пример 2. Доказать, что ограничены последовательности: 1) Решение. 1) Поскольку
что и означает ограниченность 2) Очевидно, для всех
Так как
откуда
Таким образом, для всех
т. е. последовательность ограничена. Пример 3. Доказать, что не ограничены последовательности: 1) Решение. 1) Если 2) Из формулы общего члена последовательности имеем: И, если Но так как
Для произвольного положительного числа Пример 4. Доказать, что последовательность Решение. Рассмотрим отношение
Видно, что при
и, значит, Пример 5. Доказать, что последовательность Решение. Рассмотрим отношение
Для любого
Откуда следует, что для любого
т.е.
ЗАДАЧИ Задача 1. Написать пять первых членов каждой из последовательностей: 1) Задача 2. Зная несколько первых членов последовательности, написать формулу общего члена последовательностей (выдвинуть какую-либо гипотезу) 1) 1; 3) 1; 2 Задача 3. Написать пять первых членов и формулу общего члена каждой из последовательностей, заданных рекуррентными соотношениями: 1) x1 = 1, xn+1 = xn!; 2) x1 = 1, xn+1 = xn+3; 3) x1 = 1, xn+1 = (n+1) xn; 4) x1 =2, xn+1 =3xn; 5). x1 = 1, xn+1 = x1 + x2 +…+ xn Задача 4. Выяснить, какие из чисел 1) 2) 3) 4) Задача 5. Является ли последовательность 1) а) 2) а) 3) а) Задача 6. Какие из последовательностей являются ограниченными: 1) Задача 7. Доказать ограниченность последовательностей: 1) Задача 8. Доказать неограниченность последовательностей: 1) 5) Задача 9. Доказать, что данные последовательности монотонны, начиная с некоторого номера (своего для каждой последовательности): 1) 6) 11) Задача 10. Доказать, что данные последовательности убывают, начиная с некоторого номера (своего для каждой последовательности): 1)
|