![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Предел числовой последовательности
СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 2.1 Определение предела числовой последовательности Число Используя логические символы данное определение можно записать в следующем виде:
На «языке окрестностей» определение звучит так: число
Иными словами, какую бы окрестность точки Если
а саму последовательность называют сходящейся. Сходящаяся последовательность может иметь только один предел. Число
другими словами
или, Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом, другими словами, если для любого числа
или
2.2 Свойства сходящихся последовательностей 1) Если последовательность сходится, то она ограниченна. Значит, неограниченная последовательность будет расходящейся. Последовательность, сходящуюся к нулю, называют бесконечно малой. Если последовательность {хп} бесконечно малая, а последовательность {уп} ограниченная, то их произведение, т.е. последовательность {хпуп}, также является бесконечно малой. 2) Для того, чтобы число а было пределом последовательности {хп}, необходимо и достаточно, чтобы для всех п где { 3) Если существует
4) Если существуют а) существует б) существует
в) если к тому же
5) Если
Это свойство еще называют леммой «о двух милиционерах». 6) Если
7) Если
2.3 Бесконечно большие последовательности Последовательность
и в этом случае пишут
Бесконечно большая последовательность
Этот факт записывают так:
Во всех этих случаях говорят, что последовательность имеет бесконечный предел. Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной и расходящейся. Неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. 2.4 Частичный предел. Теорема Больцано-Вейерштрасса Если подпоследовательность Если
Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Любая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. Всякая неограниченная последовательность имеет частичный предел Пусть L - множество частичных пределов последовательности Верхний и нижний пределы последовательности являются ее частичными пределами. 2.5 Фундаментальные последовательности. Критерий Коши Последовательность
Используя логические символы определение можно записать в следующем виде: (условие Коши). Это же условие формулируют и так: для каждого
В символической записи определение выглядит так:
Теорема (критерий Коши). Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Для того, чтобы последовательность не имела конечного предела, необходимо и достаточно, чтобы она не удовлетворяла условию Коши, т.е. удовлетворяла отрицанию условия Коши: существует такое
или в символической записи:
2.6 Монотонные последовательности. Число е Теорема (Вейерштрасса). Ограниченная и монотонная, начиная с некоторого номера, последовательность имеет конечный предел. Последовательность
строго возрастает (т.е.
Иррациональное число е = 2, 718 281 828 459 045 …
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Используя определение предела числовой последовательности, доказать, что число 1 является пределом последовательности Решение. Рассмотрим модуль разности
Возьмем произвольное число
Это и означает, что 1 есть предел последовательности
Пример 2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать, что Решение. Так как
Пусть
Значит, Пример 3. Используя определение предела числовой последовательности, доказать, что последовательность Решение. Нужно доказать, что никакое число не является пределом данной последовательности. Докажем, что это действительно так для любых двух соседних членов. Из этих членов один имеет четный номер
Соседний член имеет нечетный номер
Отсюда следует, что Для произвольного числа Пример 4. Доказать, что последовательность Решение. Докажем, что данная последовательность не ограничена. Имеем
Пусть Пример 5. Найти Решение. Преобразуем формулу общего члена последовательности:
Учитывая, что Пример 6. Доказать, что Решение. Для всех при
Пример 7. Найти Решение. Преобразуем формулу общего члена последовательности:
Поскольку
Пример 8. Для последовательности
найти множество частичных пределов Решение. При
и, значит,
И, значит,
значит, Таким образом, числа 2, -1, -4 являются частичными пределами данной последовательности. Рассмотренные четыре подпоследовательности Очевидно,
Из предыдущих рассмотрений следует также, что
ЗАДАЧИ Задача 1. Доказать, что 1) 4) Задача 2. Доказать, что: 1) 4) Задача 3. Доказать, что следующие последовательности являются бесконечно малыми: 1) Задача 4. Доказать, что следующие последовательности являются расходящимися: 1) Задача 5. Найти 1) 4) Задача 6. Найти 1) 4) 7) 10) Задача 7. Найти 1) 4) 7) 10) 13) Задача 8. Найти 1) 3) 6) Задача 9. Доказать, что последовательности являются бесконечно большими: 1) 6) Задача 10. Найти все частичные пределы последовательностей: 1) 5) Задача 11. Найти 1) 4)
|