![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Нелинейные модели
Слово нелинейные показывает, что соответствующие задачи описываются нелинейными уравнениями. Свойство нелинейности состоит в том, что результат взаимодействия нескольких факторов не равен простой алгебраической сумме их действий. Например, если планировать одновременную работу двух рабочих, то их производительность будет одна, если четырех - она может быть и меньше из-за недостаточности фронта работ, несогласованности действий рабочих и т.д. Нелинейная зависимость между переменными характерна и для задач размещения, в которых неизвестными являются не только пункты производства, но и объемы производства в каждом из них. Затраты на выпуск единицы строительной продукции обычно уменьшаются с ростом объема производства нелинейно. Поэтому в критерии оптимальности задачи размещения производства, представляющем собой приведенные затраты на производство и транспортировку продукции, будут содержаться нелинейные члены. Покажем на примере различия в линейной и нелинейной постановках задач. Пусть задача связана с определением оптимального распределения m однотипных строительных бригад для строительства n однотипных объектов. Задан требуемый темп выполнения работ и норма их выполнения для каждой бригады - qi. Требуется найти такое распределение бригад, при котором темп выполнения всего объема работ будет максимальным. Введем обозначения: Viтр - требуемый темп выполнения работ на i-ом объекте; qi - норма по выполнению работ на i-ом объекте; хi - количество бригад, назначаемых на выполнение работ на i-ом объекте. Рассмотрим функцию,
Vi = Vi (хi, qi) (6.4)
характеризующую темп выполнения работ на i-ом объекте при выделении на этот объект хi бригад. В линейной постановке этой задачи целевая функция и ограничения должны быть линейными. В частности, функция Vi = Vi (хi, qi) запишется в виде: Vi = хi · qi (6.5)
Графически эта зависимость представлена на рисунке 26.
Рисунок 26 - Зависимость темпа выполнения работ на объекте от количества выделенных бригад
В качестве критерия выберем средний темп выполнения работ на n объектах.
Если обозначить величину
Систему ограничений можно построить следующим образом:
Таким образом, постановка задачи имеет следующий вид: найти такое количество бригад xi, выделяемых на каждый объект, при котором достигает максимума функция
и выполняются ограничения:
На практике функцию Vi (xi) вряд ли правильно считать при значениях xi > 3 линейной. Учитывая тенденцию так называемого " насыщения", она скорее всего будет иметь вид, показанный на рисунке 27.
Рисунок 27 - Характер изменения общей производительности бригад в зависимости от их количества
Рассмотрим нелинейную постановку задачи, сняв требование линейности с функции Vi (xi) и целевой функции F(x1, x2,..., хn), т.е. будем считать их произвольного вида. Покажем важнейший недостаток приведенной ранее линейной постановки задачи, а именно: критерий - средний темп выполнения работ
Он не учитывает возможности выполнения работ на отдельном объекте. Например, для следующих 2-х вариантов распределения бригад может оказаться средний темп выполнения работ одинаковым
Более полным будет обобщённый критерий, если его построить на принципе учёта расстояния или «дефицита» показателей эффективности по отдельным объектам, в частности, «дефицита» по темпам возведения отдельных объектов:
Обычно «дефицит» выражают в относительных величинах
Целевая функция с учётом приведённых ранее соображений может быть записана в виде:
Иначе говоря, чем меньше значения максимального " дефицита", т. е. функции F(x1, x2,..., хn), тем в целом успех выполнения работ будет выше. При этом ограничения будут иметь вид:
Если в линейной постановке зависимость темпа строительства от количества выделенных на объект бригад описывалась формулой
то в нелинейной постановке она может иметь следующий вид:
где li - коэффициент, учитывающий условия выполнения работ (например, зимой). При
Рисунок 28 - Характер изменения возможностей бригад от их количества
В рассмотренном примере показана разница в линейной и нелинейной постановке аналогичной задачи. В некоторых задачах из области организации и управления строительством в качестве " дефицита" может быть использовано отклонение требуемого времени продолжительности строительства от расчетного, т.е.
При этом целевая функция будет иметь вид:
F = max(∆ Тi) (6.19)
Алгоритмом для поиска решений в случае нелинейных моделей является математический аппарат нелинейного программирования. Если целевая функция отыскивается в условиях неопределенности, то такая задача относится к стохастическому программированию. Применительно к экономико-технологическим явлениям и процессам нелинейное программирование относится к наиболее неизученному математическому направлению.
|