![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величиныСтр 1 из 4Следующая ⇒
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Понятие случайной величины
В практической жизни мы встречаемся с различными величинами. При оклейке комнаты обоями нас интересует площадь комнаты, ее высота, количество проемов и их размеры и т.д. Значения каких-то величин нам известны: количество дней в неделе, температура воздуха в комнате, количество уроков в неделю. Значение других величин можно с помощью измерений, пересчета, проведенного эксперимента. Величины, которые могут быть получены в результате опыта, эксперимента, исследования могут принимать любое из возможных значений, но точно заранее неизвестно какое, заслуживают особого внимания при изучении теории вероятностей. Определение. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно. Приведем примеры случайных величин. 1. Число выпавших «гербов» при пятикратном бросании монеты 2. Число бракованных изделий в случайно отобранной партии из 20 изделий. 3. Дальность полета артиллерийского снаряда. 4.скорость движения человека. 5. Число мальчиков, родившихся в течение суток в определенной стране. В примерах 1, 2 и 5 случайная величина может принимать отдельные изолированные значения, которые можно заранее перечислить. Так, в примере 1 такими значениями являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, в примере 2: 0, 1, 2, 3,..., 20, в примере 5: 0, 1, 2, 3, 4, 5,.... величин. В примерах 3 и 4 возможные значения случайной величины не отделены друг от друга и заполняют некоторый интервал. Определение. Дискретной случайной величиной называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное. Примерами дискретной случайной величины являются число учащихся, опрошенных на уроке; число солнечных дней в году. Определение. Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала. Примерами непрерывной случайной величины служат: время безаварийной работы станка; расход горючего на единицу расстояния; количество осадков, выпавших в сутки. Случайные величины будем обозначать заглавными буквами конца латинского алфавита — X, Y, Z, а их возможные значения — соответствующими малыми буквами — х, у, z. Например, X —число шахматных партий, окончившихся ничейным результатом, из трех сыгранных. В этом случае величина X может принять следующие значения: х 1=0, х 2=1, х 3=2, х 4=3.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности. Например, при бросании игральной кости число выпавших очков – случайная величина, ее значения: 1, 2, …6. Найдем соответствующие вероятности и оформим данные в таблице:
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности:
Эту таблицу называют рядом распределения.
Приняв во внимание, что в одном испытании случайная Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета. Решение. Напишем возможные значения X: х 1 = 50, х 2 = 1, х 3= 0. Вероятности этих возможных значений таковы: p1= 0, 01, p2 = 0, 1 и p3 = 0, 89 Напишем искомый закон распределения:
Контроль: 0, 01+0, 1+0, 89=1. Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (хi, pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Ряд распределения можно задать графически, если по оси абсцисс отложить возможные значения случайной величины, а по оси ординат — вероятности этих значений. Соединив точки (хi; yt) последовательно отрезками прямой линии, получим ломаную, которая называется многоугольником распределения вероятностей. Воспользовавшись результатами, полученными при решении задачи, построим многоугольник распределения стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Многоугольник распределения, как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину и является одним из способов (графическим) задания закона распределения. Заметим, что сумма ординат многоугольника равна единице. Это свойство многоугольника распределения является определяющим. Если в прямоугольной системе координат дана некоторая ломаная, удовлетворяющая определению функции и обладающая указанным выше свойством, то такая ломаная задает закон распределения некоторой случайной величины.
|